3. Динамические характеристики элементов и систем

Динамическая характеристика элемента или системы называется временной по какому-либо внешнему воздействию (f или g), если на вход этого элемента или системы, которые находились в покое, подается воздействие, изменяющееся по определенному закону. Если на вход звена или системы подается единичная ступенчатая функция, то временная характеристика h(t) называется переходной (рис. 1.14, а). Если на вход элемента или системы подается дельта-функция (t), то временная характеристика называется импульсной, или функцией веса w(t) (рис. 1.14, б).

Если элемент обладает инерцией, то его выходная величина нарастает постепенно и степень инерционности оценивается величиной постоянной времени Т, которая определяется путем проведения касательной к кривой разгона до пересечения с линией установившегося значения y_н выходной величины. Переходный процесс может быть монотонным (рис. 1.14, а, кривая 2) и колебательным затухающим (кривая 1), с постоянной (собственной) частотой f₀ = 1 / T₀, где Т₀ – период колебаний с непрерывно убывающей амплитудой. Время t_п называется длительностью переходного процесса.

При подаче на вход элемента или системы гармонического сигнала заданной амплитуды и частоты выходной сигнал будет изменяться с той же частотой, но с другими амплитудой и сдвигом, по фазе (рис. 1.14, в). Динамическая характеристика в этом случае называется частотной.

Рис. 1.14. Динамические характеристики элементов или систем

Различают следующие частотные характеристики: амплитудную частотную (АЧХ) (рис. 1.15, а), фазовую частотную (ФЧХ) (рис. 1.15, б) и амплитудно-фазовую частотную (АФЧХ) (рис. 1.15, в). Частотные характеристики более удобны при оценке установившихся режимов, так как гармонические cигналы передаются линейными элементами и си-стемами без искажения и могут быть легко получены экспериментально.

Рис. 1.15. Частотные характеристики элементов или систем

Для оценки динамических свойств элементов и систем также используют логарифмическую амплитудную (ЛАХ) и логарифмическую фазовую (ЛФХ) характеристики. ЛАХ L(a) определяется по формуле:

L(w) = 20lgA(w).

При построении ЛАХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе и на отметке, соответствующей значению lg(w), пишут не lg(w), a w. Единицей измерения частоты является декада. По оси ординат откладывают значение l(w). Единицей измерения l(w) является децибел (дБ).

4. Математическое описание элементов и систем автоматики

Для анализа и расчета САР необходимо иметь математическое описание (математическую модель) объекта управления. Получение математического описания объекта управления, в определенном смысле математической модели по реализации его входных и выходных сигналов, называется его идентификацией.

Применение общих методов описания объектов в теории управления приводит в простейшем случае к представлению на нижнем уровне процесса в виде одномерного объекта (рис. 1.16), на входе которого действует переменная x(t), характеризующая какое-либо свойство сырья или параметр, а на выходе – переменная у(t), характеризующая какое-либо свойство объекта или выходной показатель процесса.

Рис.1.16. Блок-схема одномерного объекта управления

Проблема индентификации таких объектов в целях построения САУ заключается в определении статических и динамических характеристик в виде адекватных математических моделей в рабочем диапазоне.

Современные методы идентификации используют сочетание аналитического и экспериментальных методов. Это связано с тем, что чисто аналитический подход во многих случаях не обеспечивает получение математической модели, в достаточной степени соответствующей реальному объекту управления. Поэтому комбинированный подход, когда общий вид математического описания определяется аналитически, а значения коэффициентов, соответствующих конкретному объекту управления, – экспериментально, наиболее эффективен. Для сложных объектов задачи идентификации решаются с использованием ЭВМ, что значительно расширяет возможности аналитического и экспериментальных методов на стадии отработки и проверки соответствия математической модели.

Аналитический метод построения математического описания в статике и динамике не требует особых пояснений. Используя известные физические, химические, механические и другие закономерности, по которым осуществляются процессы, составляют уравнения, устанавливающие взаимосвязь выходных и входных переменных объекта в стационарных условиях (не зависящих от времени), и уравнения, устанавливающие зависимость изменения во времени выходной величины от заданного изменения входного воздействия.

Экспериментальные методы базируются на использовании специальных приемов активного и пассивного эксперимента, облегчающих получение необходимых зависимостей на реальном технологическом процессе в условиях производства. Активный эксперимент предусматривает нанесение скачкообразных изменений входной величины в пределах, допустимых технологическим регламентом. Наибольшее применение для исследования статических характеристик получили классический метод активного эксперимента и метод факторного планированного эксперимента. Для исследования динамических характеристик объекта управления применяют методы временного анализа.

Пассивные экспериментальные методы применяются при определении как статических, так и динамических характеристик на базе корреляционного и регрессионного анализа данных нормальной эксплуатации промышленного объекта.

Временной метод практически сводится к экспериментальному снятию переходной характеристики или кривой разгона по каналу управления. Для пояснения метода на рис. 1.17 приведена схема оснащения исследуемого объекта измерительными приборами, позволяющими измерять вносимые изменения входной и выходных величин. При проведении эксперимента особое внимание обращают на синхронизацию регистрации входной и выходной величин. В начале эксперимента объект приводят в установившееся состояние. После этого изменяют скачкообразно входную величину на х = 10 / 15 % максимально допустимого значения входной величины. Эксперимент считается законченным, когда выходная величина достигнет нового установившегося значения для объектов с самовыравниванием либо когда устанавливается постоянная скорость изменения выходной величины в случае исследования объекта без самовыравнивания. Для каждой точки опыты повторяют не менее двух–четырех раз.

Рис. 1.17. Схема оснащения исследуемого объекта измерительными приборами (И₁, И₂, …, И_n – измерительные приборы, P – регистратор)

На рис. 1.18, а приведена кривая разгона, полученная экспериментально для объекта, обладающего самовыравниванием, и показана графически «методом касательной» возможность определения параметров ₀ и Т₀.

Рис. 1.18. Определение по кривым разгона динамических параметров объекта:

а – статического; б – астатического

Коэффициент передачи получают из соотношения:

.

На рис. 1.18, б по кривой разгона для объекта без самовыравнивания показано графическое определение запаздывания ₀, а параметры k₀ и Т находят из соотношений:

, Т₀ = 1 / k₀.

Рассмотрим аналитический метод математического описания элементов автоматики.

Состояние любого динамического звена может быть охарактеризовано совокупностью соответствующих физических величин (скоростей перемещений, напряжений, токов и т. д.). Поскольку размерности этих величин различны, то их представляют обобщенными координатами. Порядок составления дифференциальных уравнений состоит в следующем:

1) определяются входная и выходная величины и действующие на них факторы;

2) выбирается начало отсчета;

3) выявляется и используется основной физический закон, определяющий связь между входной и выходной величинами. В механике, например, это законы Ньютона, в электротехнике – Кирхгофа и т. п.

Математическое описание физического закона связи входной и выходной величин в динамическом состоянии и является исходным дифференциальным уравнением. Рассмотрим порядок составления уравнений на примере.

Пример. Найти дифференциальное уравнение для гидравлического демпфера (рис. 1.19), если пренебречь влиянием массы m подвижных частей и принять за входную величину силу F, а за выходную – перемещение поршня у, т. е. y = f(F). Очевидно, что для нахождения этой зависимости следует использовать третий закон Ньютона и записать, что F = Р = Р_д + P_тр + P_и + P_в.

Рис. 1.19. Гидравлический демпфер

Силами инерции Р_и, трения P_тр и сопротивления от веса P_в подвижных частей пренебрегаем ввиду их малости. Тогда действующая сила F будет равна только силе гидравлического сопротивления Р_д, т. е.

где с – коэффициент демпфирования.

С учетом массы подвижных частей, т. е. силы инерции уравнение движения поршня будет иметь вид:

.

После записи дифференциального уравнения вводят те или другие упрощения. Прежде всего исключаются факторы, мало влияющие на энергетические и другие свойства динамического звена, а также параметры, значения которых поддерживаются постоянным естественным путем или за счет работы других звеньев системы. Тогда обобщенное уравнение звена можно представить в таком виде:

,

где L – величина (оператор), характеризующая собственные свойства звена.

В общем виде дифференциальные уравнения можно представить как

F(y', y, х; f) = 0 – уравнение 1-го порядка,

или

F(y", y', y', f) = 0 – уравнение 2-го порядка и т. д.

Полученные уравнения чаще всего оказываются нелинейными, решить которые аналитическим путем бывает затруднительно, а иногда и невозможно. Поэтому на практике нелинейные уравнения приводят к виду линейных. При этом надо помнить, что линеаризации подвергаются только неразрывные функции (релейные и импульсные функции линеаризовать нельзя). В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение, что в исследуемом динамическом процессе переменные изменяются так, что их отклонения (х; y) от установившегося значения (х⁰; у⁰) остаются все время достаточно малыми. Для следящих систем и большинства систем управления по отклонению это условие выполняется.