21 Дәріс тақырыбы: Екілік іздеу.
Егер арасында іздеу жүріп жатқан деректер туралы қандай да бір ақпарат жоқ болса, іздеуді шапшаңдатудың басқа тәсілдері жоқ екені анық. Егер деректер реттелген болса іздеуді едәуір тиімді етуге болатыны жақсы таныс. Көз алдыңызға фамилиялар рет-ретімен орналастырылмаған телефон анықтамалығын елестетіңіз. Бұл мүлдем пайдасыз нәрсе. Сондықтан біз а жиымы реттелген алгоритмді келтіреміз, яғни ол мына шартты қанағаттандырады:
Ak:1≤k≤N:a k-1≤ak
Негізгі идея - кездейсоқ кейбір элементті таңдау, оны aм деп аламыз және х іздеу аргументімен салыстырыңыз. Егер ол х-қа тең болса, онда іздеу аяқталады, ал егер ол х-тан кем болса, онда біз м-нан кем немесе тең индекстері бар барлық элементтерді одан әрі іздеуден шығарып тастауға болады деп тұжырым жасаймыз; егер ол х-тен артық болса, онда м-ға тең немесе артық индекстер алып тасталады. Бұлай ойлау бізді келесі алгоритмге алып келеді (ол қақ ортасынан бөліп іздеу деп аталады). Мұнда L және R екі индексті айнымалылар қажет болып отырған элемент тағы қай жерден табылуы мүмкін болатын а жиымы секциясының сәйкесінше сол және оң соңын атап көрсетеді.
L : = 0 R:= N-1; found := FALSE;
WHILE (L <= R) and (not found) DO BEGIN
m := любое значение между L и R;
IF a[m] = x THEN found := TRUE
ELSE IF a[m] < x THEN L := m+1
ELSE R := m-1
END;
Әрбір қадам алдында орындалатын цикл инварианты, яғни шарты мынадай:
нәтижесі мынадай болады:
одан:
m таңдау алгоритмнің қисындылығы оған байланысты емес болғанда тұрақты. Алайда оның тиімділігіне m таңдауы әсер етеді. Біздің міндетіміз – салыстырудың нәтижесі қандай да болмасын әрбір қадамда алға қарай іздеуден барынша көп элементтер алып тастау екені анық. Оңтайлы әдіс орташа элементті іздеу болады, өйткені кез келген жағдайдажиымның жартысы алып тасталады. Нәтижесінде салыстырмалардың ең жоғарғы саны жақын бүтін санға дейін дөңгелектелген log N тең. Осылайша келтірілген алгоритм сызықтық іздеумен салыстырғанда едәуір ұтады, ондағы салыстырулардың күтілетін саны - N/2.
Тиімділікті шартты операторлардың тақырыптарының орнын ауыстыра отырып біршама жақсартуға болады. Теңдікке тексеруді екінші кезекте орындауға болады, өйткені ол бір рет қана қанағаттандырылады және жұмыстың аяқталуына әкеледі. Келесі пікір барынша елеулі: сызықтық іздеу кезіндегідей аяқталу шартын ықшамдайтындай шешімді іздеуге болмай ма. Біз сәйкестік белгіленген кезде іздеуді аяқтау ниетінен бас тартқан бойда мұндай шапшаң алгоритмді табамыз. Бастапқыда бұл таңқаларлық болуы мүмкін, алайда мұқият қарау кезінде әрбір қадамда тиімділіктегі ұтыс бірнеше қосымша элементтермен салыстыру шығындарынан артық болатыны байқалады. Кері жағдайда қадамдар саны - log N екенін еске саламыз. Шапшаң алгоритм келесі инвариантқа негізделген:
(Ak:0<k<L:ak<x)&(Ak:R<k<N:ak>x),
дегенмен іздеу екі секция жиымды тұтастай «жапқанға» дейін жалғасады.
L := 0; R := N;
WHILE L < R DO BEGIN
m := (L + R) DIV 2;
IF a[m] < x THEN L := m+1 ELSE R := m;
END;
L R аяқталу шарты, бірақ ол қол жетімді ме? Мұның дәлелі үшін біздер барлық жағдайларда R-L айырмасы әрбір қадамда жоятынын көрсетуіміз қажет. Әрбір қадамның басында L < R. Орташа арифметикалық т үшін L т < R шарты әділ. Демек, айырма шындығында жояды, немесе т + 1 мәнін берген кезде L көбейеді, немесе R т мәнін берген кезде кемиді. L = R кезінде циклды қайталау аяқталады. Алайда біздің инвариан пен L = R шарты әлі де сәйкестікті куәландырмайды. Әрине R = N кезінде ешқандай сәйкестік жоқ. Басқа жағдайларда біз a[R] элементі салыстыруларға ешуақытта қатыспайтынын ескеруіміз қажет. Демек, a[R] = х теңдігіне қосымша тексеру қажет. Біздің бірінші шешімімізден айырмашылығы келтірілген алгоритм сызықтық іздеу жағдайындағыдай ең аз элементі бар сәйкес келетін элементті табады.