18 Дәріс тақырыбы: Бөліп алу көмегімен сұрыптау.

Қосу және таңдау принциптерінде салынған сұрыптаудың екі жетілдірілген әдістерін талдап, біз енді алмастыруға негізделген үшінші жақсартылған әдіске тоқталамыз. Егер көпіршікті сұрыптау тікелей (қатаң) сұрыптаудың барлық үш алгоритмінің орта есеппен ең тиімдісі болғанын ескерсек, онда салыстырмалы елеулі жақсартуды күткен жөн. Мұның бәрі күтпеген нәрсе сияқты көрінеді: алмасуға негізделген әдісті жақсарту, ол туралы біз қазір айтатын боламыз, жиымдар үшін сұрыптау әдісінің қазіргі уақытта белгілілерінің ең жақсысына әкеледі екен. Оның өнімділігі соншалықты таңқаларлықтай, ойлап тапқыш әдісті тез сұрыптау (Quicksort) деп атады.

(Quicksort) ең тиімділікке қол жеткізу үшін ең алдымен үлкен қашықтыққа орын ауыстыруды жүргізген дұрыс деген ұғымнан шығады. Бізде кілттер бойынша кері ретпен орналасқан п элементтер бар деп аламыз. Оларды п/2 алмастыруға сұрыптауға болады: алдымен ең солын ең оңымен орын алмастыру, ал кейін тізбектеп екі жағынан жылжыту. Мұны біз рет шын мәнінде кері екенін білген кезде орындауға болады. Бірақ осы мысалдан үлгі боларлықтай нәрсе алуға болады.

Мынадай алгоритмді птырысайық: ойша кез келген элементті таңдап аламыз (оны х деп атаймыз) және біздің жиымды сол жағынан a_i> x элементін тапқанға дейін қарайтын боламыз, одан кейін жиымды оң жағынан a_j < х кездестіргенге дейін қараймыз.

Енді осы екі элементтің орнын ауыстырамыз және қарау және алмастыру процесін екі қарау жиымның ортасында бір жерде кездескенге дейін жалғастырамыз. Нәтижесінде жиым х-тан аз кілттермен (немесе тең) сол жақ бөлігіне және оң жағына – х-тан артық (немесе тең) кілттермен бөлінген болып шығады. Енді осы бөлу процесін процедура түрінде (листинг) береміз. > және < қатынасының орнына Листинг екеніне назар аударыңыз. Бөлудің көмегімен сұрыптау

PROCEDURE partition;

VAR i, j: index: w, x: item;

BEGIN i ;= 1; j := n;

х-ты кездейсоқ таңдау;

REPEAT

WHILE a[i] < x DO i := i+1;

WHILE x < a[j] DO j := j-1;

IF i <= j THEN BEGIN

w := a[i]; a[i] := a[j]; a[j]:=w; I:=I+1; j:=j-1

END

UNTIL i > j

END; {partition}

> и < қолданылады, ал WHILE циклының тақырыбында – оларды терістеу: <и>. Мұндай өзгерістер кезінде х осы және басқа қарау үшін барьер рөлін атқарады. Егер салыстыру үшін х ретінде 42 орташа кілтін алсақ, онда кілттер жиымында

44 55 12 42 94 06 18 67

б өлу үшін екі алмасу қажет болады: 18 44 и 6 55

18 06 12 |42| 94 55 44 67

Индекстердің соңғы мәні мынадай: i = 5, a j = 3. a₁…a_i-1 кілттері х = 42 кілтінен аз немесе тең, ал a_j+1 ... а_п кілттері х-тен үлкен немесе тең. Демек, екі бөлік бар, атап айтқанда:

Ak: 1<k<i: a_k<x,

Mk: j<k<n: x<a_k.

Суреттелген алгоритм өте қарапайым және тиімді, өйткені, басты салыстырылатын шамалар i, j және х қарау кезінде машинаның тез тіркелімдерінде сақтауға болады. Алайда ол сәтсіз де болуы мүмкін, мысалы, бұл п ұқсас кілттер жағдайында болады: бөлу үшін п/2 алмасуы қажет. Мұндай мүлдем міндетті емес алмасуларды, егер қарау операторларын мыналарға:

WHILE a[i]< x DO i :=i+1;

WHILEx , = A [j] DO j : = j-1;

ауыстырса, болдырмауға болады.

Алайда бұл жағдайда жиымның компонентері арасында орналасқан таңдап алынған х элементі енді екі қарау үшін кедергі болмайды. Нәтижесінде барлық ұқсас кілттері бар жиымды қарау егер олардың аяқталуының барынша күрделі шарттарын пайдаланбаса ғана жиымның шекарасы арқылы өтуге қол жеткізеді. Листингте қолданылған шарттардың қарапайымдылығы орта есеппен салыстырмалы сирек болатын қосымша алмасулар толық дұрыс болып шығады. Алмасудың өзін басқаратын тақырыпты өзгертсе тағы да аздап үнемдеуге болады:

i<=j –ден i<j –ге өту. Алайда бұл өзгеріс мына екі операторға қатысты болмауы тиіс: i: =i+1 j: = j –1. Сондықтан олар үшін жеке шартты оператор талап етіледі. Бөлу алгоритмінің дұрыстығына қарым –қатынас PEREAT циклы операторының инварианты болып табылатын растау арқылы көз жеткізуге болады. Бастапқыда і=1 және j = п болғанда олардың ақиқаттығы тривиальды, ал i>j –ден шығу кезінде олар күткен нәтиже береді.

Енді біздің мақсатымыз - элементтердің бстапқы жиымын бөліктерге бөлуді жүргізу ғана емес, оны сұрыптау да екенін еске саламыз. Сұрыптауды бөліктегіштен шамалы ғана қадам ажыратады: осы процесті алынған екі бөлікке, одан кейін бөліктердің әрқайсысы бір ғана элемент қалғанға дейін бөліктердің бөлігіне қолдану қажет. Бұл әрекет листингпен суреттеледі.

Листинг. Тез сұрыптау.

PROCEDURE Quicksort;

PROCEDURE sort(L,R: index);

VAR i, j: index; w,x: item;

BEGIN i := L; j := R;

x := a[(L+R) DIV 2];

REPEAT

WHILE a[i] < x DO i :=. i+1;

WHILE x < a[j] DO j := j-1;

IF i <= j THEN BEGIN

w:= a[i]; a[i]:= a[j]; a[j] := w; i:= i+1;j:= j-1

END

UNTIL i > j;

IF L < j THEN sort(L,J);

IF i < R THEN sort(I,R);

END; {sort}

BEGIN sort(1,n)

END; {Quicksort}

Sort процедурасы өз-өзіне рекурсивті қатынайды.