II способ

1. Принятую комбинацию делят на порождающий полином .

2. Сравнивают вес полученного остатка с числом исправляемых ошибок.

3. Если > , то производят циклический сдвиг принятой комбинации на один разряд влево и снова делят на .

4. Если = , то складывают по модулю два последнее делимое с последним остатком.

5. Производят циклический сдвиг полученной кодовой комбинации на разрядов вправо (т.е. на такое же количество разрядов, на которое сдвигали влево) и получают исправленную кодовую комбинацию.

3.4. Параметры сверточных кодов и правила их построения

Сверточные коды характеризуются следующими параметрами:

- длиной кодового ограничения

,

где - входной кадр поступающих символов;

deg - функция, определяющая максимальную степень полинома;

- порождающие полиномы;

- информационной длиной кодового слова

;

- кодовой длиной блока

,

где - выходной кадр символов;

- свободным кодовым расстоянием , которое определяется как суммарное количество единиц в порождающих полиномах.

Сверточный код требует для своего описания нескольких порождающих многочленов – в общем случае . Порождающие многочлены могут быть объединены в порождающую матрицу :

.

(3.14)

Операцию кодирования можно описать с помощью векторно-матричного произведения

,

(3.15)

или

,

(3.16)

где - информационные символы.

Проверочная матрица из многочленов является - матрицей, элементами которой являются многочлены и которая удовлетворяет условию

.

(3.17)

Вектор синдромных многочленов определяется выражением

.

(3.18)

Для систематического сверточного кода (например, для кода Вайнера-Эша) порождающая и проверочная матрицы имеют вид

,

(3.19)

где - единичная матрица ;

0 – матрица, состоящая из нулей ;

- матрица размерами ;

,

(3.20)

где - транспонированные матрицы .

3.5. Задачи к разделу 3

1. Сообщения источника, имеющего алфавит объемом , кодируется двоичным блочным кодом (табл. 3.1). Количество разрядов в каждой кодовой комбинации . Какое число информационных и проверочных символов содержится в каждой кодовой комбинации? Сколько разрешенных и запрещенных комбинаций в используемом коде? Определить избыточность и относительную скорость кода.

Таблица 3.1

Вариант	а)	б)	в)	г)	д)	е)	ж)	з)	и)	к)
	8	16	32	64	128	8	16	32	64	128
	4	5	8	10	10	5	8	10	12	12

2. Определить минимальное кодовое расстояние для кодов обнаруживающих ошибок и исправляющих ошибок (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Вариант	а)	б)	в)	г)	д)	е)	ж)	з)	и)	к)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	3	5	7	9	12	15	17	19	20	25

3. Двоичный код, предназначенный для кодирования сообщений, содержит кодовые комбинации (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Вариант	а)	б)	в)	г)	д)
	6	7	8	8	8
	00000	0000	00000	0000	00000
	10011	1001	10011	1001	00011
	01010	0101	01010	0101	00100
	11001	1100	11001	1100	01001
	00101	0010	00101	0010	00101
	10110	1011	10110	1011	10110
		0111	01111	0111	01111
			11100	1110	11100

Является ли данный код линейным? Найти избыточность и относительную скорость кода.

4. Построить порождающую матрицу для кода с минимальным кодовым расстоянием , количеством информационных элементов (табл. 3.4). Написать правила формирования проверочных элементов для полученного кода. Найти проверочную матрицу. Определить, сколько ошибок такой код может обнаружить и исправить. Нарисовать структурные схемы кодирующего и декодирующего устройства. Составить таблицу соответствия между местоположением одиночных ошибок и видом синдрома.

Таблица 3.4

Вариант	а)	б)	в)	г)	д)	е)	ж)	з)	и)	к)
	2	3	4	2	3	4	2	3	4	3
	3	3	3	4	4	4	5	5	5	2

5. Найти порождающую матрицу для кода с минимальным кодовым расстоянием , количеством разрядов в кодовой комбинации (табл. 3.5). Построить проверочную матрицу. Определить, сколько ошибок будет исправлять и обнаруживать код, а также скорость передачи.

Таблица 3.5

Вариант	а)	б)	в)	г)	д)	е)	ж)	з)	и)	к)
	2	3	4	2	3	4	2	3	4	3
	4	7	9	6	6	8	5	8	10	9

6. Код построен по матрице

.

Определить, какие из приведенных кодовых комбинаций линейного кода содержат ошибку (табл. 3.6).

Таблица 3.6

Вариант	а)	б)	в)	г)	д)
	1100111	0110101	0011010	0010110	1000100
	1011011	0110010	1100100	0110101	1001010

7. Порождающая матрица (n,k)-кода над имеет вид

.

Необходимо:

а) найти порождающую и поверочную матрицы эквивалентного систематического кода;

б) найти кодовое слово, соответствующее информационной последовательности 101;

в) декодировать принятое слово 111100.

8. Найти , для линейного блокового кода, изобразить схему кодера и декодера, если порождающая матрица блочного кода имеет вид

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

9. Найти порождающую матрицу кода, построить схемы кодирующего и декодирующего устройств, найти кода, определить возможности кода по обнаружению и исправлению ошибок, если проверочная матрица имеет вид

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

10. Схема кодера линейного блочного кода приведена на рис. 3.1. Найти , , . Изобразить схему синдромного декодера.

а)	б)
Рис.3.1

11. Для разделимого и неразделимого циклических кодов (7, 4) с порождающим полиномом =1011 и кодовой комбинацией простого кода =0101 определить:

а) кодовые комбинации;

б) схемы кодеров и декодеров;

в) порождающие и проверочные матрицы.

12. Решить задачу 3.11 для кода (15, 11) с порождающим полиномом =10011 и информационными символами =11111000001.

13. Многочлен g(x)=

порождает циклический код над GF(2) длины 15.

Необходимо:

а) найти проверочную матрицу кода;

б) определить число ошибок, которое может исправить код;

14. Найти ошибочные разряды в кодовых словах циклического кода, порождающий многочлен которого имеет вид g(x)=x⁸+x⁷+ x⁶+x⁴+1:

    а) 101100101011010	(3 ошибки);
    б) 111000101101010	(1 ошибка);
    в) 100101001011010	(2 ошибки);
    г) 111101001101010	(2 ошибки).

15. Определить ошибочно принятый элемент в кодовой комбинации:

    а) 10111111100, если порождающий полином ;

    б) 1000110, если порождающий полином .

16. Можно ли с помощью порождающего многочлена исправить все одиночные ошибки в циклическом коде (15, 11)? Получить проверочный многочлен данного кода.

17. Дана четырехразрядная кодовая комбинация простого кода 1011. Построить циклический код на базе порождающего полинома .

18. Сверточный код описывается полиномами , , .

Необходимо:

а) получить кодер, соответствующий этому коду;

б) построить диаграмму состояний для этого кода;

в) определить последовательность на выходе кодера, если на вход поступают символы 11001;

г) декодировать последовательность 111000000000.

19. Задачу 3.18 решить для сверточных кодов, заданных полиномами:

а) , , ;

б) , ;

в) , .

20. Нарисуйте схему кодера по следующим параметрам: скорость кода , , свободное расстояние =5. Получить диаграмму состояний для данного кодера. Определить последовательность на выходе кодера, если на вход поступают символы: 11001. Определить число исправляющих ошибок , длину кодового ограничения .

21. Построить схему кодера по следующим параметрам:

а) скорость кода , , свободное расстояние =5;

б) скорость кода , , свободное расстояние =5;

в) скорость кода , , свободное расстояние =7.

Для сверточного кода, генерируемого кодером (рис. 3.2 - 3.6), определить: порождающие полиномы; характеристики кода: , , , , , , , ,
	а)
б)	в)
г)	д)