1.2 Операции над множествами
Объединением
множеств
А
и
В (обозначается
)
называется
множество, состоящее из всех тех
элементов, которые принадлежат хотя бы
одному из множеств A,
B
(рис. 2.2):
=
{x:
или
}.
Пересечением множеств A
и В (обозначается
)
называется множество, состоящее из
всех тех и только тех элементов, которые
принадлежат и А, и В (рис.
2.3):
= {x: и }.
Если
общих элементов в множествах A
и B
нет, то
=
Пусть U – универсальное множество такое, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.
Дополнением
(до
U)
множества
А
(обозначается
)
называется множество всех элементов,
не принадлежащих A,
но
принадлежащих U
(рис.
2.4):
= U \ A.
Операции объединения, пересечения и
дополнения {
}
часто называют булевыми операциями
над множествами, а алгебру множеств,
в которой используются только эти
операции, – булевой алгеброй множеств.
Рисунок 1.2 Диаграмма объединения множеств А и В
Рисунок 1.3 Диаграмма пересечения множеств А и В
Рисунок 1.4 Диаграмма дополнения множества А
В алгебре множеств, кроме рассмотренных операций, определены также операции разности, симметрической разности и прямого (декартова) произведения множеств.
Разностью множеств А и В (обозначается А\В) называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 2.5):
А\В= {x:
и
}.
Разность множеств – операция строго двуместная и некоммутативная: в общем случае
А\В
В\А.
Разность множеств можно представить через пересечение и дополнение
A\B
=
.
Рисунок 2.5 – Диаграмма разности множеств А и В
Симметрической
разностью множеств
А
и
В
(обозначается
А
B)
называется
множество всех тех элементов А
или
B,
которые
не содержатся в A
и В
одновременно
(рис.
2.6):
А
В=
{x:
или
,
но
}.
Рисунок 2.6 – Диаграмма симметрической разности множеств А и В
Прямое
(декартово) произведение множеств A
и
B
– это
множество элементов в виде упорядоченных
пар (a,
b),
где
Для этой операции можно записать:
{(
)|
}.
Элементы
(
)
называются кортежами (векторами,
наборами, словами). В произведении могут
участвовать более двух множеств.
Количество множеств, участвующих в
произведении, определяет длину кортежей.
Произведение множеств – операция некоммутативная:
,
В множествах А и В могут быть одинаковые элементы, поэтому и в кортеже могут оказаться одинаковые элементы, например как буквы в словах.
Если множество А умножается на себя, то можно записать:
,
и т.д.
где А2, А3 – степени множества А.
Произведение двух множеств A = {a1, a2, a3} и B = {b1, b2} можно представить в виде графика, показанного на рис. 2.7, где каждая вертикальная линия обозначена элементом из А, каждая горизонтальная линия элементом из В, а каждая жирная точка представляет пару (ai, bi).
Рисунок 2.7 – График произведения множеств А и В
Для примера, пусть универсальное множество U – множество всех сотрудников некоторой фирмы; А – множество всех сотрудников данной организации старше 35 лет; В – множество сотрудников, имеющих стаж работы более 10 лет; С – множество менеджеров фирмы. Каков содержательный смысл (характеристическое свойство) каждого из следующих множеств:
1)
;
б)
;
в)
;
г) В \ С; д) С \ B?
2) – множество сотрудников организации, стаж работы которых не превышает 10 лет.
3) – множество менеджеров фирмы не старше 35 лет, имеющих стаж работы более 10 лет.
4) – множество всех сотрудников фирмы старше 35 лет, а также сотрудников, не менеджеров, стаж работы которых более 10 лет.
5) В\С – множество сотрудников организации со стажем работы более 10 лет, не работающих менеджерами.
6) С\В – множество менеджеров со стажем работы не более 10 лет.
Или например осуществим операции объединения, пересечения, дополнения, разности и симметрической разности над множествами:
А = {a, b, c, d} и B = {с, d, e, f, g, h}.
Результат будет следующий:
= {a, b, c, d, e, f, g, h};
= {c, d}.
A \ B = {a, b};
B \ A = {e, f, g, h};
{a,
b,
e,
f,
g,
h}.
Универсальное множество U не определено, поэтому, строго говоря, операции дополнения над множествами A и В не могут быть выполнены. Но если принять в качестве универсального множества объединение множеств A и B:
U = {а, b, с, d, e, f, g, h}
тогда
= U\А = {е, f, g, h},
= U\B = {а, b}.