Решение транспортной задачи методом потенциалов.
Процедура перехода от одного
опорного плана к другому алгоритмически
выполняется таким образом. Пусть выбран
некоторый небазисный элемент
,
который вводится в базис. Отметим его
знаком «+». Дальше строится замкнутая
цепочка, вершинами которой будут базисные
элементы опорного плана. Вершины цепочки
отражаются знаком «+» и «-» по очереди,
соблюдая правило: каждая строка и столбец
должны иметь столько элементов,
отмеченных знаком «-», сколько и «+».Среди
элементов, отмеченных знаком «-»
выбирается минимальный элемент. Определим
его через
.
добавляется к элементам, отмеченным
знаком «+», и вычитается из элементов,
отмеченных знаком «-».
Оптимальность опорного плана проверяется
согласно величине оценок
, причем
.
Параметры
вычислим, таким образом, для
имеем систему уравнений вида
.
Таких уравнений есть
,
откуда можно определить компоненты Ui
и Vj вектора, который вводится. Искомых
величин есть
,
а уравнений на одно меньше. Для
определенности предусматривается
,
что, а другие определяются из системы
уравнений. Зная значение Ui и Vj, можно
определить параметры
Другими словами, для
вычисляются значения
.
Транспортная задача является задачей
минимизации. Опорный план оптимальный,
если все
.
Если план неоптимален, то среди
положительных
выбирается максимальный
Элемент с номером
подлежит введению в базис ( он является
первым элементом при построении цепочки).
Метод решения задач транспортного типа
называется методом потенциалов. Метод
основан на идее нахождения потенциалов
(величин Ui и Vj ) и выборе компоненты, что
вводится в базис, если опорный план
неоптимальный.
Алгоритм метода потенциалов представляет пошаговый процесс, который состоит из проверки на оптимальность опорного плана, вырожденности и переход на новый опорный план. Процесс руководствуется признаком оптимальности. Опишем этот процесс.
Шаг 0. Возвести данные в таблицу и определить опорный план. Если план вырожден, то ввести нулевые базисные элементы.
Шаг 1. Составить систему уравнений
для
и
вычислить все потенциалы Ui и Vj .
Шаг 2. Вычислить значение для небазисных компонент.
Шаг 3. Если план неоптимален, то
определить
В другом случае перейти к шагу 6.
Шаг 4. Построить цепочку, начиная с
элемента
и определить
как минимальный элемент среди элементов,
отмеченных знаком минус.
Шаг 5. Определить новый опорный план; если имеет место вырожденность, то ввести нулевые базисные компоненты. Перейти к шагу 1.
Шаг 6. Выписать базисные компоненты из последней таблицы и определить значение целевой функции
где
- оптимальные значения перевозок.
Пример: Проверим оптимальность опорного плана, построенного методом северо-западного угла из предыдущей задачи.
Значение целевой функции для этого
плана :
План невырожден, т.к. в нем - 9, и = 4+6-1=9.
Составим систему уравнений для и вычислим все потенциалы Ui и Vj .
Вычислим значение для небазисных компонент.( )
Т.к. есть
положительные
то план
не оптимален. Построим новый план.
Найдем максимальную оценку больше нуля:
=16.
Значит вводить в план будем элемент
.
Начиная с этого элемента построим
цепочку.
Найдем минимальный элемент в цепи , стоящий со знаком минус.
.
Построим план
учитывая знаки цепи.
Посчитаем значение целевой
функции для этого плана:
Значение целевой функции уменьшается, значит вычисление идет верно.
Проверим полученный план на оптимальность. Для этого повторим процесс проверки как для плана . Процесс необходимо повторять до тех пор пока не получим план со всеми оценками больше или равными нулю.
Вопрос для самоподготовки
1. Суть способа перехода от одного опорного плана к другому.
2. Что определяется потенциалами в методе потенциалов?
3. Каким должны быть все в методе потенциалов, чтобы план был оптимальным?
ЛЕКЦИЯ 9.