Решение.

Конструкция состоит из двух балок АС и ВС, соединенных между собой шарниром С. Связями для данной конструкции являются жесткая заделка в т. А и подвижный шарнир в т. В. Указанные связи, в соответствии с условием задачи, являются идеальными. Конструкция под действием внешних нагрузок находится в равновесии, а это означает, что данная механическая система (конструкция) имеет ноль степеней свободы.

1. Определение реакции R_B.

Для определения реакции связи В мысленно отбрасываем эту связь, заменяя ее действие на конструкцию реакцией этой связи. Таким образом, переводим реакцию в разряд внешних сил. Отбросив связь В и заменив ее реакцией , конструкция условно становится подвижной с одной степенью свободы потому, что балка АС осталась неподвижной, а балка ВС имеет возможность вращаться вокруг шарнира С (рис. Д7.3). Поэтому стало возможным дать возможное перемещение δφ

Рис. Д7.3

при вращении балки ВС вокруг шарнира С и составить одно уравнение равновесия на основе принципа возможных перемещений. Из этого уравнения и найдем искомую реакцию R_B.

Переведя реакцию связи В в разряд внешних получаем, что на конструкцию действуют силы , , и момент М. Связь А является идеальной, поэтому ее реакции не будут входить в уравнение принципа возможных перемещений.

Дадим конструкции возможное перемещение δφ и составим уравнение равновесия на основе принципа возможных перемещений:

(1)

В уравнении (1) элементарные работы равны:

а) силы R_B:

б) момента М:

здесь взят знак «минус» потому, что направление момента и элементарного угла поворота δφ противоположны;

в) силы P₁:

Элементарная работа силы равна нулю потому, что приложена к неподвижной точке (возможное перемещение δφ относится только к балке ВС; балка АС при этом остается неподвижной);

г) силы P₂:

где δS_D – возможное перемещение точки D (точки приложения силы ).

Найдем соотношения между возможными перемещениями δφ, δS_В и δS_D:

(2)

Подставим в уравнение (1) значения элементарных работ с учетом выражений (2):

(3)

Так как δφ ≠ 0, то определим из уравнения (3) искомую реакцию R_B:

кН.

2. Определение реакций связи А.

Связь А – жесткое защемление. В общем случае реакции жесткого защемления складываются из реактивного момента М_А и силы реакции, направление которой нам заранее неизвестно. Поэтому, при решении задач целесообразно силу реакции жесткого защемления разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие, например, на вертикальную составляющую и горизонтальную составляющую.

Таким образом, реакции жесткого защемления А состоят из:

а) реактивного момента М_А;

б) горизонтальной составляющей Х_А;

в) вертикальной составляющей У_А.

2.1. Нахождение реактивного момента М_А.

Для нахождения реактивного момента М_А мысленно отбрасываем связь, которая препятствует вращению балки АС вокруг точки А, заменяя жесткое защемление новой связью – неподвижным шарниром и прикладывая к ней реактивный момент М_А (рис. Д7.4). Таким образом, неизвестную реакцию М_А переводим в разряд внешних нагрузок.

В

Рис. Д7.4

следствие замены связи конструкция становится подвижной с одной степенью свободы потому, что балка АС может вращаться вокруг неподвижного шарнира А, в то же время заставляя балку ВС двигаться поступательно. Поэтому дадим системе возможное перемещение δφ при вращении балки АС вокруг шарнира А и составим уравнение равновесия на основе принципа возможных перемещений, из которого и определим искомый реактивный момент М_А.

На конструкцию действуют сосредоточенные силы и и моменты М и М_А. Связи А (неподвижный шарнир) и В (шарнир подвижный) являются идеальными, поэтому их реакции не входят в уравнение принципа возможных перемещений:

(4)

Определим значение элементарных работ, входящих в уравнение (4):

а) элементарная работа реактивного момента:

б) элементарная работа силы :

Здесь δS_E - элементарное перемещение точки Е балки АС, к которой приложена сила ;

в) элементарная работа силы :

где δS_С – элементарное перемещение т.С;

г) элементарная работа момента М:

т.к. балка ВС совершает движение без вращения.

Подставляем полученные значения элементарных работ в уравнение (4):

(5)

Сокращая обе части уравнения (5) на δφ ≠ 0, найдем искомый реактивный момент:

кН·м.

2.2. Нахождение горизонтальной составляющей Х_А.

Д

Рис. Д7.5

ля определения горизонтальной составляющей реакции жесткого защемления отбросим связь, которая препятствует горизонтальному перемещению точки А. С этой целью заменим жесткое защемление ползуном в горизонтальных направляющих, который жестко соединен с балкой АС и приложим к ползуну неизвестную реакцию (рис. Д7.5). Вследствие замены связи конструкция становится подвижной с одной степенью свободы и вся конструкция может перемещаться поступательно. Дадим системе возможное перемещение δх, направленное вдоль реакции и составим уравнение равновесия на основе принципа возможных перемещений (учитываем, что внешние нагрузки в данном случае: , , и М):

(6)

Вычислим значения элементарных работ, входящих в уравнение (6):

а) элементарная работа силы :

б) элементарная работа силы :

в) элементарная работа силы :

г) элементарная работа момента М:

Работа момента М равна нулю, т.к. балка ВС не совершает вращательного движения.

Следовательно, уравнение (6) примет вид:

Находим искомую реакцию:

кН.

Знак «минус» означает, что в действительности реакция направлена в ту сторону, противоположную той, которая показана на рис. Д7.5.

2.3. Нахождение вертикальной составляющей У_А.

Т

Рис. Д7.6

ак же, как и при определении , для нахождения вертикальной составляющей У_А отбросим связь, препятствующую вертикальному перемещению т очки А. Для этого заменим связь «жесткое защемление» другой связью – «ползун, жестко связанный с балкой АС, перемещающийся в вертикальных направляющих» и приложим к ползуну неизвестную реакцию (рис. Д7.6).

Дадим системе возможное перемещение δу. При этом балка АС будет совершать поступательное движение, а балка ВС будет вращаться вокруг точки В. Учитывая, что внешние нагрузки в этом случае , , и М, составим уравнение равновесия на базе принципа возможных перемещений:

(7)

Элементарные работы равны:

а) силы :

б) силы :

в) силы :

(8)

В уравнении (8) учтено, что

г) момента М:

Подставим выражения элементарных работ в уравнение (7):

Отсюда:

кН.

Знак «минус», как и при нахождении реакции , означает что действительное направление реакции противоположно принятому в наших расчетах.

Ответ: R_B = 15,2 кН; М_А = 18,0 кН·м; Х_А = -21,2 кН; У_А = -10,9 кН.

Пример 2 выполнения задания Д7.

Условие задачи: Определить реакции идеальных связей составной конструкции, изображенной на рис. Д7.7, если заданы следующие параметры: Р₁ = 12 кН; Р₂ = 18 кН; М = 10 кН·м; а = 1,0 м; в = 0,25 м; α = 45°.