4.4 Расчет балки на прочность и жесткость при изгибе

Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается момент, лежащий в плоскости, проходящей через продольную ось. В поперечных сечениях бруса возникают из­гибающие моменты.

Изгиб представляет такую деформацию, при которой проис­ходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев.

Изгиб называется плоским, если плоскость действия мо­мента проходит через главную центральную ось инерции сечения.

Если изгибающий момент М_х, является единственным внут­ренним силовым фактором, то такой изгиб называется чистым. При наличии поперечной силы Q_y изгиб называется поперечным.

Брус, работающий на изгиб, называется балкой.

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для расчетной схемы консольной балки с сосредоточенной силой Р (рис.3.8). Пусть для определенности Р = 4 кН, l = 2 м.

Вычислим реакции связи на базе уравнений равновесия:

S_прY = 0 Þ - P + R_A = 0 Þ R_A = P = 4 кН.

S M_A = 0 Þ - P×l + m_A = 0 Þ m_A = P×l = 4 × 2 = 8 кН×м.

В принципе, для консольных балок определение реакций не обязательно, значения реакций будут выявлены после построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Для построения эпюр, воспользуемся методом сечений. Рас­сечем балку поперечным сечением Ι-Ι в произвольном месте (рис.4.8). Отбросим правую часть и рассмотрим равновесие левой части, получим:

S X = 0 Þ N = 0;

S Y = 0 Þ Q_y = - P = - 4 кН;

S М_z = 0 Þ M_z = - P×x.

Из первого уравнения видно, что продольная сила N при из­гибе равна нулю. Построим эпюры поперечной силы Q_y и изги­бающего момента M_z вдоль длины балки (рис.3.8).

Поперечная сила постоянна по всей длине балки и равна Q_y = - P = - 4 кН. Отложим на графике линию параллельную оси х.

Изгибающий момент M_z изменяется в зависимости от рас­стояния x. Закон распределения M_z – линейный, в начале балки, х = 0 и в конце – x = l = 2 м.

x =0 Þ M_z = 0;

x = 2 м Þ M_z = - 4×2 = - 8 кН×м.

Построим по полученным ординатам график M_z.

По эпюрам Q_y и M_z определяется опасное сечение, то есть сечение, в котором вероятнее всего может произойти разрушение.

Опасным сечением называется сечение, в котором изгибаю­щий момент достигает наибольшего значения (по модулю): - M_z.max = max (M_z).

В некоторых случаях опасным сечением может быть также сечение, где наибольшего значения достигает поперечная сила:

Q_y.max = max (Q_y).

Рисунок 4.8

Такими случаями являются тонкостенные балки, балки, на­груженные большими сосредоточенными силами вблизи опор и балки, имеющие малую длину.

В данном случае опасным является место закрепления балки.

Поперечная сила в сечении балки считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена снизу-вверх, а справа – сверху вниз, и отрицательной – в противо­положном случае (рис.4.9.а).

Изгибающий момент в сечении балки считается положитель­ным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сече­ния направлен по часовой стрелке, а справа – против часовой стрелки, и отрицательным – в противоположном случае.

Если обратить внимание на направление выпуклости балки (рис.3.9.б), то можно установить более удобное для запоминания правило знаков для изгибающих моментов. Изгибающий момент считается положительным, если в рассматриваемом сечении, балка изгибается выпуклостью вниз, то есть верхние волокна испыты­вают сжатие, а нижние – растяжение.

При проверке правильности построения эпюр следует обра­тить внимание, что в сечении, в котором к балке приложена сосре­доточенная сила, перпендикулярная оси балки (в том случае и опорная реакция), значение поперечной силы Q_y меняется скачком, на величину приложенной силы. Аналогично, в сечении, в котором к балке приложен сосредоточенный внешний момент, значение из­гибающего момента на эпюре М, также меняется скачком.

В общем случае, при построении эпюр Q_y и M_и следует со­блюдать следующий порядок:

1 Сопоставляется расчетная схема балки (в виде оси) с изо­бражением действующих на нее нагрузок.

2 Отбрасываются опоры, а их влияние на балку заменяется соответствующими реакциями. Можно этого и не делать, а показы­вать реакции непосредственно на расчетной схеме балки, а для кон­сольной балки и не определять их.

3 Составляются уравнения равновесия балки, решением ко­торых определяются значения опорных реакций.

4 Балка разбивается на грузовые участки, границами которых являются точки приложения внешних сосредоточенных сил и мо­ментов, а также точки начала действия, окончания действия или изменения характера распределенных нагрузок.

5 Составляются выражения поперечных сил Q_y и изгибаю­щих моментов M_и для каждого участка балки. На расчетной схеме указывается начало и направление отсчета

текущей координаты х сечения для каждого участка.

Рисунок 3.9

6 По полученным выражениям вычисляются ординаты эпюр для ряда сечений балки в количестве, достаточном для изображе­ния этих эпюр.

7 Определяются сечения, в которых поперечные силы равны нулю и, следовательно, в которых действуют экстремальные значе­ния моментов ( M_max или M_min); вычисляются значения этих мо­ментов.

8 По полученным значениям ординат строятся эпюры.

9 Производится проверка правильности построения эпюр пу­тем сопоставления их на основании выводов теоремы Журавского.

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов можно по­строить, не составляя выражений для Q_y и M_и, а ограничиться вы­числением значений поперечных сил и изгибающих моментов в ха­рактерных сечениях балки и, используя выводы из дифференциаль­ных зависимостей, возникающих из теоремы Журавского.

При чистом изгибе в поперечных сечениях возникает один силовой фактор - изгибающий момент, и, как следствие, нормаль­ное напряжение. При поперечном изгибе возникают два внутрен­них силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила и, как следствие, две составляющие напряжения – нормальное и каса­тельное.

В произвольной точке балки в общем случае могут возникать нор­мальные напряжения как вдоль продольной оси _z, так и вдоль по­перечных осей _x, _y. Однако, экспериментально доказано, что нормальные напряжения _x, _y пренебрежимо малы по сравнению с напряжением _z. Принимается так называемая гипотеза нена­давливания продольных волокон _x = 0, _y = 0. Поэтому можно принять, что материал балки находится при линейном напряжен­ном состоянии вдоль оси z , и деформации подчиняются закону Гука. То есть нормальные напряжения при изгибе можно опреде­лить из формулы _z = E_z.

Экспериментально установлено, что в деформируемой балке попе­речные сечения плоские до деформации остаются такими же и по­сле нее. Имеет место так называемая гипотеза плоских сечений. При этом, например, верхние волокна удлиняются, нижние же уко­рачиваются, нейтральные слои не меняют своей длины.

Нормальные напряжения при изгибе определяются из выра­жения

 = y,

где М_х – изгибающий момент в рассматриваемом сечении;

y – расстояние от нейтрального слоя до

рассматриваемой точки сечения;

I_x - осевой момент инерции сечения.

Как видно из анализа формулы на нейтральной линии на­пряжения равны нулю, максимального значения они достигают в крайних верхних и нижних волокнах балки:

_max = y_max .

Обозначим I_x / y_max = W_x , получим формулу для максималь­ных напряжений в произвольном сечении:

_max = ,

где, W_x – осевой момент сопротивления сечения изгибу, геометрическая характеристика поперечного сечения.

Нормальные напряжения, возникающие при поперечном из­гибе, с достаточной точностью для практических целей могут оп­ределяться по формулам чистого изгиба. Поэтому условия прочно­сти по нормальным напряжениям имеют тот же вид, что и для чис­того изгиба.

Касательные напряжения в поперечных сечениях балки по­являются при нагружении последней сосредоточенными и распре­деленными силами. Величина их определяется формулой Журав­ского:

 = ,

где, Q_y – поперечная сила; - статический момент отсечен­ной части сечения относительно нейтральной оси; b – ширина се­чения; I_x – осевой момент инерции.

Условие прочности по касательным напряжениям будет иметь вид:

_max =  [] ,

где, Q_y.max – наибольшая по модулю поперечная сила; S_x – стати­ческий момент инерции верхней половины сечения, для стандарт­ных профилей берется из таблиц сортаментов, а для произвольнподсчитывается по формуле

S_x = ydA = Ay_c,

где, площадь сечения А представляет собой равнодействующую, координата y_c – плечо равнодействующей, С – центр тяжести сече­ния.

При поперечном изгибе в сечении балки одновременно дей­ствуют как нормальные напряжения, так и касательные.

Материал балки находится при плоском напряженном со­стоянии, поэтому для оценки прочности балки используются тео­рии прочности, например третья:

_экв = ₁ - ₃.

Если подставить выражения для главных напряжений, то по­лучим:

.

Для обеспечения прочности балки при совместном действии как нормальных, так и касательных напряжений должно выпол­няться условие:

.

Рациональным можно считать сечение балки, которое при равной с другими сечениями площади имеет наименьшие напряже­ния.

Максимальные напряжения, возникающие в балке при дей­ствии заданной нагрузки, тем меньше чем больше осевой момент сопротивления сечения изгибу:

.

Поэтому сечения с большим W_x , будут более рациональ­ными. Для количественной оценки рациональности сечения удобна безразмерная характеристика:

- удельный осевой момент сопротивления сечения.

Для балок из пластичных материалов (одинаково работаю­щих на растяжение и сжатие: [_p] = [_c] = []) наиболее рацио­нальными будут сечения, симметричные относительно нейтральной оси, например двутавр. У двутавра большая часть материала пере­мещена в зоны максимально удаленные от нейтральной оси, то есть на полки, соединенные стенкой (вертикальным листом), толщина которой () назначается из условий прочности стенки по касатель­ным напряжениям, а также соображений ее устойчивости.

К двутавровому сечению близко по критерию рационально­сти коробчатое сечение.

Для балок из хрупких материалов наиболее рациональным будет сечение в форме несимметричного двутавра, удовлетворяю­щего условию равнопрочности на сжатие и растяжение.

Идея рациональности сечения балок реализована в стандарт­ных тонкостенных профилях, выпускаемых промышленностью.

Поскольку по соображениям технологии сортамент стан­дартных профилей ограничен, то для больших пролетов применяют составные (сварные или клепаные) балки.

Кроме напряжений, определяют и перемещения для обеспе­чения жесткости балки. Для отдельных деталей расчет на жесткость имеет более важное значение, чем расчет на прочность.

Пользуясь уравнением прогибов, можно проверить жест­кость балки, а также подобрать размеры ее сечения из условия же­сткости.

Обозначая максимальный прогиб балки или так называемую стрелу прогиба f_max и допускаемую стрелу прогиба [f] , получим условие жесткости балки: