4.3 Расчет валов на кручение

Кручением называется вид нагружения, при котором к брусу прикладываются внешние скручивающие моменты, а в поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – крутящий момент (М_к).

Брусья, передающие крутящий момент называются валами. Внешние скручивающие моменты, как правило, передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т. п. Обычно задаются мощности, передаваемые валом, и число оборотов, а ве­личины скручивающих моментов определяются по формулам:

M_к (T) = , Нм

где, N – мощность, Вт; n – частота вращения вала, С^-1.

Если мощность выражается в кВт, то

M_к =9736 , Нм.

Если же в лошадиных силах (л.с.), то учитывая, что 1 л.с. = 0,736 кВт:

M_к = 7162 , Нм.

Зная величины скручивающих моментов и, используя метод сечений, определяют крутящие моменты, возникающие в попереч­ных сечениях вала.

Крутящий момент М_к в сечении вала численно равен алгеб­раической сумме внешних скручивающих моментов, действующих по одну сторону от сечения, при этом могут рассматриваться как левая, так и правая отсеченные части вала.

Рассмотрим вал, нагруженный скручивающими моментами Т₁ = 10 кН м, Т₂ = 25 кН м, Т₃ = 35 кН м (рис.4.7):

Рисунок 4.7

Воспользуемся методом сечений. Рассечем участки вала (рис.4.7). Границами участков вала являются точки приложения скручиваю­щих моментов. Отбросим правую отсеченную часть. Заменим ее крутящим моментом М_к. Из уравнения равновесия отсеченной части найдем величину крутящего момента М_к, возникающего в сечении.

Ι участок (0 z1  a)

 M = 0  M = 0.

Ιι участок ( a  z2  2a)

 M = 0  - T₁ + M = 0  M = Т₁ = 10 кН.

Ιιι участок (2a  z3  4a)

 M = 0  - T₁ – T₂ + M = 0  М = Т₁ + Т₂ = 35 кН м.

Для наглядного представления о величине крутящих момен­тов и характере их распределения по длине вала построим эпюру этих моментов (рис.4.7). В местах приложения внешних моментов ординаты эпюры скачкообразно изменяются на величину прило­женного внешнего момента.

На основании гипотезы Бернулли (гипотеза плоских сече­ний), в вале возникают условия чистого сдвига, а в поперечных се­чениях действуют только касательные напряжения.

Касательные напряжения при кручении прямо пропорцио­нальны расстоянию (ρ) от центра тяжести сечения:

 = ,

где I_ρ – полярный момент инерции поперечного сечения.

При  = 0 и  = 0 наибольшие напряжения возникают в точках контура сечения при  = R:

_max = R.

Величина отношения полярного момента инерции к радиусу вала называется моментом сопротивления сечения при кручении или полярным моментом сопротивления:

W_p = .

Для сплошного круглого сечения:

W_p = 0,2 D³.

Для кольцевого сечения:

W_p = (1 – c⁴) = (1 – c⁴)  0,2 D³ (1 – c⁴),

где, c = d / D.

Максимальные касательные напряжения равны:

_max =

Условие прочности при кручении вала имеет вид:

_max =  [] ,

то есть максимальные касательные напряжения, возникающие в опасном сечении вала, не должны превышать допускаемых напря­жений [] = _max / [n], где [n] – нормативный коэффициент запаса прочности.

На практике, допускаемые напряжения на кручение прини­мают в зависимости от допускаемого напряжения на растяжение для данного материала:

для стали []  (0,5  0,55) [_p];

для чугуна []  [_p].

При расчете вала на чистое кручение, принимают заведомо пониженные значения допускаемых напряжений на кручение, на­пример для стали [] = 20  40 МПа.

При расчете валов на прочность встречаются три вида задач:

а) проверка напряжений (проверочный расчет);

б) определение допускаемой нагрузки (нагрузочный расчет);

в) подбор сечения (проектный расчет).

При проектном расчете, из условия прочности, можно опре­делить диаметр вала:

- сплошного сечения

d 

- кольцевого сечения

D  .

Анализируя формулу для определения максимальных каса­тельных напряжений, можно отметить, что наибольшие напряже­ния возникают на поверхности вала, в центральной части они зна­чительно меньше и на продольной оси равны нулю. Следовательно, в сплошном валу материал, находящийся в центральной части в значительной степени недонагружен, его вклад в прочность вала мал. Поэтому рациональным для валов считается кольцевое сече­ние.

Угол закручивания вала длиной определяется по фор­муле:

 = .

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называют относительным углом закручивания:

 = =

Для обеспечения требуемой жесткости вала необходимо чтобы наибольший относительный угол закручивания не превосхо­дил допускаемого:

_max =  [] – условие жесткости вала при кручении.

Допускаемый угол закручивания зависит от назначения вала. Чаще всего [] = (4,38  17,5) 10^-3 , рад / м = 0,25  1,0 град / м.

При проектном расчете, из условия жесткости, определяют требуемые значения полярного момента инерции сечения вала I_, а затем по формулам для конкретного сечения, например для круга, определяют требуемый диаметр вала:

I_ =  0,1 d⁴  d 

Из двух значений диаметра вала, на прочность и жесткость, выбирают окончательно больший.