Лекция 4 расчет несущей способности типовых элементов

4.1 Расчеты на прочность и жесткость стержней при

растяжении-сжатии

Осевым (центральным) растяжением-сжатием бруса называ­ется вид нагружения, при котором равнодействующая внешних сил прикладывается в центре тяжести поперечного сечения и действует вдоль продольной оси.

Внутренние силы определяются с помощью метода сечений. Рассмотрим пример определения внутренних сил: пусть имеется стержень постоянного поперечного сечения, нагруженный силами 2P и 3P вдоль продольной оси стержня. Определим величину внут­ренних сил.

Рисунок 4.1 – Расчетная схема и эпюра продольных сил

стержня постоянного поперечного сечения

Решение

Стержень может быть разделен на два грузовых участка, гра­ничными точками, которых являются точки приложения сил и точка закрепления. Если начало координат расположить на правом конце стержня, а ось z направить справа налево, то, используя ме­тод сечений, рассекая последовательно участки, отбрасывая левую часть, заменяя ее действие внутренними усилиями N, Q_y, M_x, и уравнивая оставшуюся часть, получим:

I участок (0 ≤ z₁ ≤ a)

∑ z = 0 ⇒ N₁ = 2P;

∑ y = 0 ⇒ Q_y = 0;

∑ m_x = 0 ⇒ M_x = 0,

то есть при растяжении-сжатии в поперечных сечениях стержня возникает только один внутренний силовой фактор – нормальная сила N.

II участок (a ≤ z₂ ≤ 2a)

∑z = 0 ⇒ N₂ = 2P – 3P = - P,

то есть нормальная сила равна алгебраической сумме проек­ций сил, приложенных к отсеченной части на продольную ось: N = ∑ P_{i z} .

Нормальная сила считается положительной, если она растя­гивает отсеченную часть стержня (направлена по внешней нор­мали), при сжимающем действии нормальная сила считается отри­цательной.

Рисунок 4.2 – Правило знаков для нормальной силы

Полученные результаты, для большей наглядности, удобно представить в виде графика (эпюры N), показывающего изменение продольной силы вдоль оси стержня. Построим на первом участке линию параллельную оси z на высоте 2P, на втором участке – ли­нию со значением - P. Области, ограниченные графиком и осью z принято штриховать и обозначать знак этой области. Наибольшая продольная сила возникает на первом участке (2P), и как следствие, он наиболее опасен, то есть может скорее разрушиться, чем второй.

Нормальная сила в сечении бруса является равнодействую­щей нормальных напряжений, действующих в плоскости попереч­ного сечения:

N = σ dA.

От продольной нагрузки, напряжения равномерно распределены по всему сечению, а на основании закона Гука (σ = Eε) и нормальных напряжений σ = const. Тогда N = σA. Отсюда σ = N/A.

Для обеспечения прочности стержня должно выполняться условие прочности – конструкция будет прочной, если макси­мальное напряжение ни в одной точке нагруженной конструкции не превышает допускаемой величины, определяемой свойствами дан­ного материала и условиями работы конструкции, то есть:

σ_max = ≤ [σ].

Допускаемое напряжение [σ] определяется по формуле:

[σ] = σ_в / n ,

где, σ_в - предельное (опасное) для материала напряжение,

определяемое экспериментально (предел прочности);

n – коэффициент запаса прочности.

Величина коэффициента n назначается в пределах n = 1,5…3,0, а иногда и более (до 100), с учетом многих факторов, в частности, точности принятых расчетных соотношений, условий эксплуатации конструкции, особых требований по безопасности работы, норм, принятых в отрасли промышленности и др.

Используя условие прочности: можно решать следующие ос­новные типы расчетов: