Самостоятельная работа №5

Вариант 1

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	3	gx+	8	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

9

1

1

10

3

7

7

9

2

5

Используя метод моментов найти параметр g.

Метод моментов заключается в том, что находятся теоретические и эмпирические значения моментов и приравниваются между собой.

Напомним, что начальный теоретический момент k-го порядка случайной величины X определяется как .

Центральный теоретический момент k-го порядка случайной величины X определяется как .

M(X) - математическое ожидание случайной величины X, которое равно для дискретных случайных величин и

для непрерывных случайных величин.

Начальный эмпирический момент k-го порядка случайной величины X определяется как .

Центральный эмпирический момент k-го порядка случайной величины X определяется как .

Среднее значение .

При этом центральные моменты, как правило, по определению не считаются, а используются расчетные формулы, которые проще в применении. Вид этих формул совпадают для теоретических и эмпирических моментов, разница в том, что для расчета эмпирических центральных моментов в них подставляются эмпирические начальные моменты, а для расчета теоретических – соответственно, теоретические.

;

;

;

Количество находимых моментов различного порядка определяется количеством неизвестных параметров распределения. Как правило, достаточно взять необходимое количество начальных моментов низшего порядка (хотя, в принципе, по методу могут быть взяты моменты любого порядка), поскольку центральные моменты однозначно выражаются через них, но сложнее в плане расчета, поскольку в качестве одного из этапов подразумевают нахождение начальных моментов.

Полученное уравнение (или система уравнений, если параметров несколько) решается и находятся требуемые значения параметров.

Для нашего случая распределение непрерывное и содержит неизвестную нормирующую константу C, которую необходимо сперва найти. Находится она на основе правила нормировки .

Получим:

.

Откуда, .

Неизвестный параметр у нас один – g, поэтому будет достаточно одного уравнения, приравняем первые начальные моменты.

Первый начальный теоретический момент равен

.

Первый начальный эмпирические момент равен

Приравниваем

100g+40=81g+43,2;

19g=3,2;

.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	6	k1=	3
x2=	2	k2=	6
x3=	1

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	5	19	26

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

В основе метода наибольшего правдоподобия лежат следующие рассуждения, рассмотренные для случая дискретного распределения с 1 параметром. Вероятность того, что для имеющегося распределения с неизвестным параметром k мы получим наблюдаемую выборку может быть найдена как – так называемая функция правдоподобия. Здесь C – количество возможных вариантов (сочетаний), приводящих к нашей выборке, при условии, что порядок наблюдений нам не важен. В дальнейшем мы увидим, что значение этой константы роли не играет. Итак, мы можем выразить вероятность наступления события – появления нашей выборки. С другой стороны, ном известно, что это событие совершило (выборка получена по результатам наблюдения). Исходя из этого делается предположение, что наиболее правдоподобным является наступление события с наибольшей вероятностью. Тогда, возникает задача нахождения значения неизвестного параметра k, при котором эта наибольшая вероятность достигается. Для решения этой задачи нам необходимо найти максимум функции правдоподобия. Однако, нахождение максимума функции подразумевает осуществление операции дифференцирования, которая для случая функции, состоящей из многих сомножителей, приводит к громоздкому и трудноанализируемому результату. Поэтому, функцию правдоподобия L(k) заменяют на логарифмическую функцию правдоподобия Ln(L(k)). Очевидно, что в силу монотонности функции логарифм логарифмическая функция правдоподобия достигает максимума при том же значении k, что и просто функция правдоподобия. Логарифмическая функция правдоподобия имеет вид Ln(L(k))=Ln(C) +n₁Ln(x₁,k)+ n₂Ln(x₂,k)+…+ n_mLn(x_m,k). Учитывая, что следующим шагом является операция дифференцирования по k, а число сочетаний C, как и его логарифм от значения параметра k не зависит, то ясно, что в процессе дифференцирования это слагаемое будет равно 0 и роли не сыграет, поэтому количество способов, приводящих к нашей реализации выборки в различном порядке роли не играет. Поэтому, логарифмическая функция правдоподобия записывается как

. Далее от логарифмической функции правдоподобия берется производная, приравнивается 0, уравнение решается и находится искомое значение параметра k, приводящая к максимуму этой функции.

Для случая непрерывной случайной величины последовательность действий аналогична, но значение дискретной вероятности заменяется на значение плотности вероятности в соответствующей точке.

Для случая нескольких переменных процесс поиска максимума логарифмической функции правдоподобия сводится ко взятию честных производных, приравниванию их к 0 и решению полученной системы уравнений.

В нашем случае у нас дискретная случайная величина, распределение которой зависит от двух параметров. Логарифмическая функция правдоподобия может быть записана как . Продифференцируем и приравняем 0:

Вычитая из второго удвоенное первое получим . Откуда

.

Поскольку и не равны 0 поскольку равны или пропорциональны вероятностям исходного распределения, а наблюдаемые частоты отличны от 0, то преобразуем первое уравнение системы:

;

;

;

;

;

.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

Задача отличается от задачи 1 тем, что неизвестных параметра 2, а распределение является дискретным. На последовательность действий это принципиального влияния не оказывает.

Первый начальный теоретический момент равен

.

Второй начальный теоретический момент равен

.

Первый начальный эмпирические момент равен

Второй начальный эмпирические момент равен

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

Решаем:

Вычтем из второго уравнения первое, помноженное на 3:

Видим, что результат совпадает с результатом, полученным применением метода наибольшего правдоподобия, хотя в общем случае это не обязательно так.

4. Задана выборка

y x	-463	805
-797	14	30
143	20	36

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

Выборочный коэффициент линейной корреляции равен .

Выборочный корреляционный момент определяется как

и может быть найден по расчетной формуле

.

Выборочное среднеквадратическое отклонение может быть определено по формуле .

Кроме того, известно, что линейное преобразование, используемое при методе условных вариант, не приводит к изменению коэффициента линейной корреляции и потому может быть легко применено для упрощения расчетов.

Перейдем к одномерным распределениям x и y и перейдем к условным вариантам и c коэффициентами a_x=1268, b_x=-463, a_y=940, b_y=-797.

Xoi	0	1
ni	34	66

y0i	0	1
ni	44	56

Преобразуем и корреляционную таблицу:

y x	0	1
0	14	30
1	20	36

Объем выборки N=34+66=44+56=100.

Найдем выборочные средние и выборочные средние от квадрата:

;

;

;

.

Можно найти выборочные среднеквадратичные отклонения:

;

.

Определим среднее значение от произведения переменных:

.

Определим выборочный корреляционный момент:

.

Теперь можно найти выборочный коэффициент корреляции:

.

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	192	165	172	180	173	183	184	165	150	174
Вес	100	69	72	84	75	78	81	63	57	77

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Выборочное уравнение регрессии имеет вид .

Соответствующие коэффициенты могут быть определены как напрямую по выборке по формуле для не сгруппированных данных:

,

так и по формулам, получаемым путем группировки данных, аналогичных соответствующим формулам для теоретической линии регрессии, и получаемым из них путем замены математических ожиданий на средние значения:

.

Коэффициент находится из соотношения .

Для нашей выборки мы имеем дело с большими значениями наблюдаемых переменных, затрудняющими расчеты. Поэтому применим метод условных вариант и перейдем к условным вариантам и c коэффициентами a_x=1, b_x=180, a_y=1, b_y=78.

После такого преобразования переход от полученных коэффициентов уравнения регрессии для условных вариант к исходным может быть осуществлен по формулам:

и

Использованы формулы для не сгруппированных значений, поскольку объем выборки велик по сравнению с количеством повторяющихся вариант, как следствие проведение группировок нецелесообразно. После преобразования корреляционная таблица примет вид

X0	17	15	-9	-7	11	-28	-17	-17	-13	-29
Y0	10	12	-3	-2	6	-15	-13	-9	-13	-24

Найдем недостающие значения и суммы для расчета:

											∑
X0	17	15	-9	-7	11	-28	-17	-17	-13	-29	-77
Y0	10	12	-3	-2	6	-15	-13	-9	-13	-24	-51
X0Y0	170	180	27	14	66	420	221	153	169	696	2116
X02	289	225	81	49	121	784	289	289	169	841	3137

Объем выборки N=10. Получим

;

;

;

= .

В результате получаем требуемое уравнение регрессии:

.

Вариант 2

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	3	gx+	6	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

3

7

2

8

2

7

6

4

7

5

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
P	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	1	k1=	10
x2=	5	k2=	6
x3=	6

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	14	13	23

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-595	634
-797	20	3
45	22	55

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	176	161	192	168	170	185	159	197	171	191
Вес	81	62	91	68	76	78	59	89	66	100

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 3

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	7	gx+	3	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

1

3

1

1

3

9

2

9

8

3

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	9	k1=	4
x2=	2	k2=	7
x3=	5

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	20	20	10

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-64	296
-420	30	28
999	12	30

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	182	185	177	180	164	172	173	194	183	151
Вес	82	91	81	83	68	70	70	86	76	53

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 4

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	9	gx+	7	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

3

5

4

4

7

8

5

9

7

5

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
P	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	6	k1=	5
x2=	3	k2=	8
x3=	7

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	8	14	28

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-391	612
-707	3	22
29	8	67

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	185	169	152	156	158	185	194	173	154	184
Вес	89	77	60	67	60	94	97	80	59	86

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 5

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	9	gx+	1	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

2

6

2

4

6

6

9

8

2

4

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	10	k1=	1
x2=	3	k2=	1
x3=	5

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	15	12	23

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-281	431
-704	10	12
313	19	59

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	163	179	152	158	189	184	197	175	180	158
Вес	66	81	60	66	88	92	102	82	89	56

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 6

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	5	gx+	2	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

6

2

4

1

3

5

9

3

8

2

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	5	k1=	6
x2=	9	k2=	6
x3=	8

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	1	3	46

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-596	928
-515	15	7
932	11	67

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	157	181	195	170	168	197	173	165	192	168
Вес	63	80	103	79	75	101	74	65	92	70

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 7

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	4	gx+	8	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

1

5

1

3

6

8

1

8

7

6

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	7	k1=	6
x2=	6	k2=	9
x3=	1

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	1	8	41

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-127	62
-399	7	27
611	30	36

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	163	162	166	194	162	154	188	171	192	195
Вес	69	63	76	86	62	55	97	67	83	99

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 8

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	2	gx+	7	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

5

3

9

1

4

9

5

2

1

9

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	2	k1=	3
x2=	7	k2=	4
x3=	5

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	2	3	45

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-784	90
-10	28	5
490	29	38

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	185	174	175	181	161	154	154	152	153	191
Вес	89	74	82	76	71	64	60	60	54	82

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 9

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	2	gx+	6	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

4

8

1

6

5

4

3

6

7

1

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	8	k1=	6
x2=	1	k2=	7
x3=	5

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	12	8	30

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-187	684
-279	20	15
282	13	52

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	184	155	195	199	191	167	179	181	165	187
Вес	81	63	98	105	91	74	84	77	65	81

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 10

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	7	gx+	9	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

9

9

2

9

8

3

3

8

4

2

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	7	k1=	7
x2=	4	k2=	2
x3=	1

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	5	2	43

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-692	419
-259	22	11
297	17	50

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	198	169	161	162	158	163	175	197	158	176
Вес	104	77	65	72	56	62	70	96	66	72

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 11

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	5	gx+	6	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

3

8

8

8

2

7

4

4

7

5

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	6	k1=	6
x2=	4	k2=	7
x3=	5

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	6	12	32

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-698	695
-396	28	12
773	12	48

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	188	168	198	161	181	163	181	158	173	193
Вес	88	69	103	71	81	63	79	65	71	102

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 12

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	6	gx+	9	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

5

5

8

7

6

8

8

4

8

7

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	1	k1=	6
x2=	10	k2=	8
x3=	4

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	2	16	32

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-225	931
-202	1	15
144	11	73

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	188	195	153	194	169	160	174	150	198	173
Вес	85	86	58	86	75	58	72	59	106	72

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 13

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	3	gx+	6	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

1

8

5

7

1

8

7

1

8

8

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	4	k1=	2
x2=	8	k2=	5
x3=	10

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	15	8	27

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-787	757
-923	29	24
352	3	44

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	166	163	192	181	166	168	175	196	179	151
Вес	69	59	92	82	72	67	74	95	77	54

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 14

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	2	gx+	8	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

5

1

3

1

5

2

2

6

8

3

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	6	k1=	1
x2=	4	k2=	8
x3=	7

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	15	11	24

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-638	85
-275	23	5
923	29	43

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	178	196	172	180	159	176	166	180	154	155
Вес	71	101	70	86	67	79	70	78	53	58

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 15

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	8	gx+	2	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

5

6

7

9

4

7

8

7

9

2

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	6	k1=	6
x2=	9	k2=	3
x3=	1

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	6	18	26

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-863	986
-713	22	18
252	7	53

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	184	191	173	180	192	160	171	169	164	193
Вес	77	88	71	77	90	61	68	73	72	86

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 16

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	2	gx+	2	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

7

3

3

4

4

1

9

9

2

9

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	6	k1=	1
x2=	10	k2=	5
x3=	7

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	18	6	26

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-843	636
-474	8	22
832	13	57

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	193	173	151	179	184	200	165	155	197	166
Вес	97	68	53	83	79	106	63	66	91	67

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 17

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	6	gx+	7	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

2

4

6

3

9

4

3

1

7

8

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	5	k1=	9
x2=	1	k2=	7
x3=	9

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	6	14	30

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-617	15
-819	17	25
215	13	45

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	167	164	185	155	192	177	178	180	200	175
Вес	67	60	89	63	98	79	81	75	93	70

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 18

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	7	gx+	2	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

3

3

3

3

8

7

6

8

4

6

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	9	k1=	1
x2=	8	k2=	7
x3=	6

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	18	5	27

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-538	309
-750	19	8
629	10	63

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	176	175	200	183	182	191	170	172	192	153
Вес	69	83	101	87	82	93	71	71	85	57

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 19

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	9	gx+	2	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

5

2

3

7

4

3

9

5

8

7

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	9	k1=	1
x2=	8	k2=	4
x3=	1

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	2	6	42

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-671	265
-721	12	5
250	25	58

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	197	195	171	173	191	152	163	163	167	151
Вес	88	90	75	76	84	63	65	69	65	54

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 20

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	7	gx+	4	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

6

8

2

6

9

7

6

9

8

5

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	9	k1=	2
x2=	2	k2=	4
x3=	1

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	11	5	34

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-769	650
-328	12	23
502	8	57

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	185	162	172	166	173	178	182	199	192	199
Вес	82	61	70	75	73	81	86	97	100	102

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 21

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	6	gx+	1	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

3

6

1

8

1

8

5

9

4

2

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	4	k1=	1
x2=	6	k2=	6
x3=	5

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	11	12	27

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-62	193
-308	26	9
72	21	44

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	184	174	165	161	168	167	175	175	156	189
Вес	90	74	65	67	77	63	72	81	65	83

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 22

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	3	gx+	2	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

9

6

9

4

3

7

3

1

1

3

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	1	k1=	10
x2=	9	k2=	2
x3=	2

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	14	10	26

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-29	194
-956	3	10
502	3	84

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	184	156	151	152	178	162	191	170	161	164
Вес	83	56	57	63	78	61	90	74	72	72

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 23

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	1	gx+	5	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

7

1

4

4

1

9

8

1

5

9

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	5	k1=	10
x2=	1	k2=	5
x3=	9

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	9	1	40

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-49	341
-575	14	5
742	18	63

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	150	183	154	182	168	169	186	197	158	180
Вес	60	87	56	87	73	74	81	91	68	79

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 24

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	3	gx+	4	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

8

5

8

7

4

6

3

4

2

6

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	6	k1=	6
x2=	2	k2=	8
x3=	5

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	11	4	35

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-450	59
-945	13	3
178	20	64

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	150	172	175	174	199	168	156	199	151	182
Вес	55	70	78	72	104	72	55	107	53	84

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 25

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	2	gx+	6	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

2

2

4

6

1

6

8

7

3

2

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	4	k1=	10
x2=	5	k2=	5
x3=	2

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	5	16	29

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-138	182
-540	9	24
556	15	52

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	193	156	185	186	200	194	161	173	175	197
Вес	92	57	83	86	107	94	70	71	75	96

Построить выборочное уравнение линии регрессии.

Вариант 26

Самостоятельная работа 5 по теории вероятностей и математической статистике

1. Задано распределение непрерывной случайной величины с неизвестным параметром g и нормирующей константой C. Плотность вероятности

f(x)=C(	7	gx+	2	)
xϵ[0;10]

Для определения неизвестного параметра g проведен эксперимент и получена выборка из 10 нижеприведенных значений

6

1

5

1

2

8

5

1

7

1

Используя метод моментов найти параметр g.

2. Задано распределение дискретной случайной величины с неизвестными параметрами g1 и g2.

X	X1	X2	X3
p	K1/g1	K2/g2	1-K1/g1-K2/g2

Известно, что

x1=	10	k1=	5
x2=	1	k2=	6
x3=	6

Для определения неизвестных параметров g1 и g2 проведен эксперимент и получена выборка.

x	X1	X2	X3
n	4	16	30

Используя метод наибольшего правдоподобия найти параметры g1 и g2.

3. Решить задачу 2 с помощью метода моментов.

4. Задана выборка

y x	-903	573
-169	28	11
458	6	55

Найти выборочный коэффициент линейной корреляции

5. В рамках призыва в армию РФ исследуется рост и вес. Получается следующая выборка:

Рост	171	188	154	189	160	151	175	192	180	190
Вес	80	94	54	98	58	54	70	96	75	99

Построить выборочное уравнение линии регрессии.