3.6 Определение оптимальной стратегии обслуживания ла методом динамического программирования

Вариант 3

Исходные данные:

Исходные величины	Значения
1	4
Срок эксплуатации взаимно удаленных объектов, лет m	3
Количество доставляемого компонента топлива ,M0, единиц	70
Коэффициент в функции доставки первым способом, k3	0,13
Коэффициент в функции стоимости, k4	0,145
Коэффициент в функции стоимости, k1	4
Коэффициент в функции стоимости, k2	2
Свободный член в функции стоимости, с1	85
Свободный член в функции стоимости, с2	70
Показатель степени в функции стоимости n1	3
Показатель степени в функции стоимости n2	3

Постановка задачи

Имеется определенное количество продукта ( ), которое необходимо доставить к обслуживаемым объектам за m лет эксплуатации этих объектов. Доставка производится как с помощью общего стационарного агрегата, так и с помощью индивидуальных стационарных агрегатов. Полезная нагрузка, транспортируемая к объектам с помощью любого агрегата требует ежегодных вложений (расходов), зависящих от того, сколько продукта какая система доставила. Если X продукта доставляется с помощью общего стационарного агрегата, то за год будет израсходовано f(X) средств: при этом не весь продукт может быть доставлен к концу года, так что к началу следующего года от него останется какая-то часть . Аналогично, для доставки продукта Y с помощью стационарных агрегатов индивидуального обслуживания, необходимо израсходовать g(Y) средств, а к концу года останется от продукта какая-то часть . По истечении года, оставшийся от продукт заново распределяется между средствами доставки. Дополнительного продукта извне не поступает. Требуется найти такой способ обслуживания объектов (какие объекты какими агрегатами обслуживать в разные годы), при котором суммарные расходы будут минимальны.

Схема решения задачи.

Поставленную задачу целесообразно решать методом динамического программирования по следующей схеме.

Рассматриваемая система S в данном случае – два способа доставки продукта к объектам обслуживания. Она характеризуется двумя параметрами X и Y, выражающими количество продукта, доставляемого к объектам стационарным агрегатом общего пользования и индивидуальными агрегатами стационарного базирования. Естественным «шагом» управления является финансовый год.

Выражения, связывающие между собой массу доставляемого компонента со стоимостью представим в виде:

Количество компонента, которое необходимо доставить к объектам за один год, известно, поэтому функции могут быть заданы, например, в таком виде:

Требуется выбрать способ заправки компонента топлива взаимно удаленных объектов, исходя из минимума затрат. Решение поставленной задачи может быть выполнено методом динамического программирования, следующим образом:

Расход средств на i-ом шаге будет

(*)

Под влиянием этого управления доставки компонента общим агрегатом система на i-ом шаге перейдет из состояния в состояние

где

Основное функциональное управление имеет вид:

(

Это означает, что min берется по всем неотрицательным величинам Xi, не превосходящим наличного запаса продукта M_i-1.

Условным оптимальным управлением на i-м шаге будет то из значений Xi, при котором выражение в фигурных скобках достигает минимума.

Условная оптимальная доставка компонента на последнем шаге в последний год эксплуатации будет определяться минимальным значением функции (*)

W₄ (M₃) = min[W₄(M₃X₄)] = min [k₁X₄ⁿ¹ + C₁ + k₂(M₃-X₄)ⁿ² + C₂]

0 ≤ X₄ ≤ M₃

Берем первую производную и приравняем к нулю:

k₁n₁X₄^n1-1 - k₂n₂(M₃-X₄)^n2-1 = 0

= 0 – корень не удовлетворяет условию

Условное оптимальное управление на 5м шаге имеет вид:

W₄ (M₃X₄) = 4*( )² + 2*( )³ + 155

Основное функциональное управление:

W₄ (M₃) = min {k₁X₄ⁿ¹ + C₁ + k₂(M₃-X₄)ⁿ² + C₂ + W₄[k₃X₄ + k₄(M₃-X₄)]}

W₄ (M₃) = min {4X₄² + 85 + 2(M₃-X₄)³ + 70+W₄[0,13X₄ + 0,145(M₃-X₄)]}

W₃ (M₂) = min {4X₃² + 85 + 2(M₂-X₃)³ +70+ W₃[0,13X₃ + 0,145(M₂-X₃)]}

W₂ (M₁) = min {4X₂² + 85 + 2(M₁-X₂)³ +70+ W₂[0,13X₂ + 0,145(M₁-X₂)]}

W₁ (M₀) = min {4X₁² + 85 + 2(M₀-X₁)³ + 70+W₁[0,13X₁ + 0,145(M₀-X₁)]}

Подставляя M₀ в данные выражения, находим искомые Xi, Wi для всех 5 шагов:

W₁(M₀Х₁)=

W₂(M₁X₂) = = 8907,08 Х₂= =3,26

M₂ =

W₃(M₂X₃) =

X₃ =

M₃ =

W₄(M₃X₄) =

X₄ =

M₄ = 0,026

Совокупность продукта, доставляемого стационарным агрегатом общего пользования по годам

X = (X₁, X₂, … , X_m)

X = (23,333; 3,26; 0,45; 0,063)

будет представлять собой оптимальное управление, наряду с которым имеет место

Y = (Y₁, Y₂, … , Y_m) = (M₀ – X₁, M₁^* - X₂, … M_m-1^* - X_m)

Y = (46,667; 6,539; 0,91; 0,127)

- количество продукта, доставляемого стационарными агрегатами индивидуального пользования по годам.