Стереометрические задачи, примеры 1-3

В13. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ известно, что ВD₁ = ,

ВВ₁ = 3, А₁D₁= 4. Найдите длину ребра АВ.

D₁

A₁

С₁

B₁ D

A

С

B

Решение:

Так как параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁- прямоугольный, то ВВ₁D₁ и А₁В₁D₁ – прямоугольные.

Тогда по теореме Пифагора:

1) ВD₁² = В₁D₁² + ВВ₁², отсюда

( )² = В₁D₁² + 3²,

29 = В₁D₁² + 9,

D₁

4

A₁

С₁

B₁ D

A 3

? C

B

В₁D₁² = 20,

2) В₁D₁² = А₁В₁² + А₁D₁², отсюда 20 = А₁В₁² + 4²,

20 = А₁В₁² + 16, А₁В₁ ² = 4, т.к. А₁В₁ 0, то А₁В₁ = 2.

Длина ребра АВ = А₁В₁ = 2. В бланк ответов: 2

В13. В правильной треугольной пирамиде SABC точка К – середина ребра ВС, S – вершина. Известно, что АВ = 6, а SК = 7. Найдите площадь боковой поверхности.

S

А В

К

С

Решение:

В данной правильной пирамиде боковая поверхность состоит из трех равных равнобедренных треугольников. К – середина ребра ВС. Значит, SК – апофема боковой грани, т.е. высота треугольника ВSС.

В основании данной правильной пирамиды – равносторонний

S

7

А 6 В

К

С

треугольник. Значит, ВС = АВ = 6.

Отсюда площадь боковой поверхности пирамиды S_бок = 3 ВSС = .

В бланк ответов: 63

В13. В правильной треугольной пирамиде SABC М – середина ребра АВ, S – вершина. Известно, что ВС = 4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 18. Найдите длину отрезка SМ.

S

С В

М

А

Решение:

В данной правильной пирамиде боковая поверхность состоит из трех равных равнобедренных треугольников. М – середина ребра АВ. Значит, SМ – апофема боковой грани, т.е. высота треугольника АSВ.

В основании данной правильной пирамиды – равносторонний треугольник. Значит, АВ = ВС = 4.

S

С 4 В

М

А

Следовательно, площадь боковой поверхности пирамиды S_бок. = 3 ВSС, 18 = .

Отсюда SМ = 3. В бланк ответов: 3