Задания в14: традиционные текстовые задачи на составление уравнения

В14.Два велосипедиста одновременно отправились в 192 – километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть х км/ч - скорость второго велосипедиста,

тогда (х+4) км/ч - скорость первого велосипедиста,

ч – время, затраченное на пробег вторым велосипедистом,

ч – время, затраченное на пробег первым велосипедистом.

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 4 часа раньше второго.

Составим уравнение: - = 4. Умножим обе части уравнения на х(х+4), получим:

192 (х + 4) – 192 х = 4 х ( х + 4), 192 х + 768 – 192 х = 4 х²+ 16 х, 4 х² + 16 х – 768 = 0,

х² + 4 х – 192 = 0, D = 4² - 4 · (- 192) = 16 + 768 = 784 = 28² > 0 – 2 корня, х = ,

х = -16 или х = 12. По смыслу задачи х > 0. Значит, 12 км/ч - скорость второго велосипедиста.

В бланк ответов: 12

В14.Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 88 км. Возвращаясь из В в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но через один час пути вынужден был сделать остановку на 15 мин. После этого он продолжил путь в А, увеличив скорость на 2 км/ч, и в результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Решение:

Пусть х км/ч - скорость велосипедиста на пути из А в В,

тогда (х+2) км/ч - скорость велосипедиста на пути из В в А после остановки,

(1·х ) км проехал велосипедист на пути из В в А за один час пути,

(88-х) км – обратный путь после остановки,

ч затратил велосипедист на пути из А в В,

ч затратил велосипедист на обратный путь после остановки.

По условию задачи велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Остановка 15 мин. = ч.

Составим уравнение: = + +1, = + .

Умножим обе части уравнения на 4 х ( х + 2), получим: 352 х + 704 = 352 х – 4 х² + 5 х² + 10х,

х² + 10 х – 704 = 0, D = 100 + 4 · 704 = 2916 = 54² > 0 – 2 корня, х = ,

По смыслу задачи х > 0. Значит, 22 км/ч - скорость велосипедиста на пути из А в В.

В бланк ответов: 22

В14. Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Отчалив от пристани А в 10 часов утра, теплоход проплыл по течению реки с постоянной скоростью до пристани В. После трехчасовой стоянки у пристани В теплоход отправился в обратный рейс и прибыл в А в тот же день в 22.00. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Решение:

Пусть х км/ч - скорость теплохода в неподвижной воде,

тогда (х - 4) км/ч - скорость теплохода против течения реки,

(х + 4) км/ч - скорость теплохода по течению реки,

ч – время, затраченное теплоходом против течения реки,

ч – время, затраченное теплоходом по течению реки.

По условию задачи теплоход отчалил от пристани А в 10 часов утра, 3 часа стоял у пристани В и прибыл в А в тот же день в 22.00, т.е. на движение по реке затратил 22 – 10 – 3 = 9 часов.

Составим уравнение: + = 9.

Умножим обе части уравнения на (х - 4) (х + 4), получим: 48 ( х + 4) + 48 (х - 4) = 9 ( х - 4) ( х + 4), 48 х + 192 + 48 х - 192 = 9 (х² - 16),

48 х + 192 + 48 х – 192 = 9 х² - 144, 9 х² - 96 х - 144 = 0, 3 х² - 32 х - 48 = 0,

D = (-32)² - 4 · 3 · (- 48) = 1024 + 576 = 1600 = 40² >0 – 2 корня, х = , х = - или х = 12.

По смыслу задачи х > 4. Значит, 12 км/ч - скорость теплохода в неподвижной воде.

В бланк ответов: 12

В14. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 38 км/ч, а вторую – со скоростью 57 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение:

Пусть х км/ч – средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути,

тогда, принимая все расстояние за 1,

ч – время, затраченное на весь путь,

время, затраченное на первую половину трассы,

время, затраченное на вторую половину трассы.

Получим уравнение: + = , = , = , х = ,

х = 45,6. Значит, 45,6 км/ч– средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути.

В бланк ответов: 45,6

В14. Товарный поезд, идущий со скоростью 30 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Определите длину поезда (в метрах).

Решение:

Используя формулу , где v = 30 км/ч = , t = 36 с,

получаем, что длина поезда равна

= (м).

В бланк ответов: 300

В14. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метров. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение:

Пусть х м – длина скорого поезда,

тогда (700 + х) м или м – сумма длин скорого и пассажирского поездов,

где по формуле = (v₁ + v₂) t км = (65 + 35) t км = 100 t км = ∙ 36 с.

Составим уравнение: 700 + х = ,

700 + х = 1000, х = 300.

Значит, 300 м – длина скорого поезда.

В бланк ответов: 300

В14. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метров. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Решение:

Пусть х м – длина пассажирского поезда,

тогда (600 + х) м или м – сумма длин пассажирского и товарного поездов,

где по формуле = (v₁ - v₂) t км = (90 - 30) t км = 60 t км = ∙ 60 с.

Составим уравнение: 600 + х = ,

600 + х = 1000, х = 400.

Значит, 400 м – длина пассажирского поезда.

В бланк ответов: 400

В14. Моторная лодка прошла против течения реки 165 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть х км/ч - скорость лодки в неподвижной воде,

тогда (х - 2) км/ч - скорость лодки против течения реки,

(х + 2) км/ч - скорость лодки по течению реки,

ч – время, затраченное лодкой против течения реки,

ч – время, затраченное лодкой по течению реки.

По условию задачи лодка затратила на обратный путь на 4 часа меньше.

Составим уравнение: - = 4. Умножим обе части уравнения на (х - 2) (х + 2), получим: 165 (х + 2) – 165 (х - 2) = 4 ( х - 2) (х + 2), 165 х + 330 – 165 х + 330 = 4 (х² - 4),

165х + 330 – 165 х + 330 = 4 х²-16, 4 х² = 660 + 16, 4 х² = 676, х² = 169, х = -13 или х = 13. По смыслу задачи х > 2. Значит, 13 км/ч - скорость лодки в неподвижной воде.

В бланк ответов: 13

В14. Моторная лодка прошла 80 км от пункта А до пункта В и после трехчасовой стоянки вернулась обратно, затратив на весь путь 12 часов. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть х км/ч – скорость лодки в неподвижной воде,

тогда (х + 2) км/ч – скорость лодки по течению реки,

(х - 2)км/ч – против течения,

ч – время, затраченное на путь по течению,

ч – против течения;

По условию задачи на весь путь затрачено 12 ч, на стоянку 3ч .

Составим уравнение: + +3 = 12; + = 9.

Умножим обе части последнего уравнения на (х - 2) (х + 2), получим:

80 (х - 2) + 80 (х + 2) = 9 (х - 2) (х + 2); 80 (х - 2) + 80 (х + 2) = 9 (х² - 4);

80х – 160 + 80х + 160 = 9х² - 36; 9х² - 36 - 80х + 160 – 80х – 160 = 0;

9х² - 160х – 36 = 0; D = 160² - 4 · 9 · (-36) = 25600 + 1296 = 26896 = 164² > 0 - 2 корня;

х = ; По смыслу задачи х > 2.

Значит, 18 км/ч – скорость лодки в неподвижной воде. В бланк ответов: 18

В13. Из пункта А в пункт В вниз по течению реки отправились одновременно моторная лодка и байдарка. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Последнюю часть пути моторная лодка шла с выключенным мотором, и ее скорость относительно берега была равна скорости течения. На той части пути, где моторная лодка шла с включенным мотором, ее скорость была на 2 км/ч больше скорости байдарки. Найдите скорость байдарки в неподвижной воде, если в пункт В байдарка и моторная лодка прибыли одновременно.

Решение:

Пусть х км/ч - скорость байдарки в неподвижной воде,

тогда ( х + 3) км/ч - скорость байдарки по течению реки,

(х + 3 + 2 = х + 5) км/ч - скорость лодки по течению реки,

принимая все расстояние за 1,

ч – время, затраченное байдаркой на весь путь,

ч - время, затраченное лодкой на последнюю часть пути,

ч - время, затраченное лодкой на 1 - = часть пути.

По условию задачи байдарка и моторная лодка прибыли одновременно, затрачивая, очевидно, одинаковое время.

Составим уравнение: = + . Умножим обе части уравнения на 7·3(х + 3)(х + 5), получим: 21х + 105 = 18х + 54 + х² + 8х + 15, х² + 5х – 36 = 0,

D = 25 + 144 = 169 = 13² > 0 - 2 корня, х = , По смыслу задачи х > 3.

Значит, 4 км/ч - скорость байдарки в неподвижной воде.

В бланк ответов: 4

В14. Весной катер идет против течения реки в раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер против течения в раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

Решение:

Пусть х км/ч - скорость течения весной,

тогда (х - 1) км/ч - скорость течения летом.

(V_к +х ) км/ч - скорость катера весной по течению реки, где V_к – скорость катера в неподвижной воде,

(V_к - х ) км/ч - скорость катера весной против течения реки,

(V_к + (х -1)) =(V_к + х -1) км/ч - скорость катера летом по течению реки,

(V_к – (х – 1))= (V_к – х + 1)км/ч - скорость катера летом против течения реки.

По условию задачи весной катер идет против течения реки в раза медленнее, чем по течению, т.е. V_к +х = (V_к - х ), а летом катер идет против течения в раза медленнее, чем по течению, т.е. V_к + х -1 = (V_к - х + 1).

Получим систему уравнений:

Значит, 5 км/ч - скорость течения весной.

В бланк ответов: 5

В14. Их пункта А круговой трассы, длина которой равна 30 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого равна 92 км/ч, скорость второго – 77 км/ч. Через сколько минут первый автомобилист будет опережать второго ровно на 1 круг?

Решение:

Автомобилисты начинают движение одновременно и догоняют друг друга, затрачивая одинаковое время.

Обозначим через х ч – время, затраченное каждым автомобилистом,

тогда 92 х км проходит первый автомобилист, 77 х км – второй.

По условию задачи первый автомобилист будет опережать второго ровно на 1 круг, т.е. на 30 км. Получим уравнение 92 х -77 х = 30, 15 х = 30, х = 2.

Значит, через 2 ч = 120 мин. первый автомобилист будет опережать второго ровно на 1 круг.

В бланк ответов: 120