91

Задания В10:

вычисление площадей поверхностей,

объемов многогранников и тел вращения

При выполнении несложных заданий В10 нужно знать формулы площадей поверхностей или объемов пирамиды, призмы, цилиндра, конуса и шара.

Призма Прямоугольный Куб

параллелепипед

h c

S а

V = S h a b а а

S – площадь основания, V = abc V = a³

h - высота

Пирамида Усеченная пирамида

S – площадь S S , S – площади

основания, оснований,

h – высота h h – высота

h V = S h V = h(S+ S + )

S S

Правильный тетраэдр: Цилиндр Конус

а а

а h образующая

а h l-образующая

а а r

r

Усеченный конус Сфера и шар

r

h l-образующая R

r

При решении задач также нужно знать:

1. Если линейные размеры тел увеличиваются (уменьшаются) в k раз, то площади их поверхности увеличиваются (уменьшаются) в раз, а объемы – в раз.

2. Если объем тела увеличивается (уменьшается) в раз, то вес этого тела увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

3. Если объемы жидкости в цилиндрических сосудах равны, то в одном из сосудов при увеличении (уменьшении) его диаметра в k раз уровень жидкости уменьшится (увеличится) в раз, т.к. уровень жидкости зависит от площади основания.

4. Объем детали, погруженной в сосуд с водой, равен объему вытесненной воды.

Если уровень жидкости в сосуде при погружении детали поднялся, например:

1) на 3 см, а был 20 см, значит, уровень жидкости поднялся на ;

2) в 1,6 раза – это значит, что он поднялся на 0,6 по сравнению с тем, который был до этого;

3) на по сравнению с тем, который был до этого, значит, объем детали составляет объема жидкости, которая была в сосуде изначально.

5. Если два цилиндра имеют одинаковые основания и высоты т и п , где т – меньшая высота, то объем меньшего цилиндра составляет объема большего цилиндра.

6. Если цилиндр и конус имеют одинаковые основания и высоты, то объем цилиндра больше объема конуса в 3 раза.

7. Если призма и пирамида имеют одинаковые основания и высоты, то объем призмы больше объема пирамиды в 3 раза.

8. Если прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра (или цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед), то сторона основания прямоугольного параллелепипеда и диаметр основания цилиндра равны.

9.Если прямоугольный параллелепипед описан около сферы (или сфера вписана в прямоугольный параллелепипед), то сторона основания прямоугольного параллелепипеда и диаметр сферы равны.

10.Если цилиндр описан около призмы, в основании которого лежит квадрат (или призма, в основании которого лежит квадрат, вписана в цилиндр), то диагональ основания призмы и диаметр основания цилиндра равны.

11.Если цилиндр описан около шара (или шар вписан в цилиндр), то радиус основания цилиндра и радиус шара равны.

Пример 1.

В10. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 1. Каждое ребро этого параллелепипеда увеличили в 2 раза. Найдите объем получившегося параллелепипеда. Решение: Объем прямоугольного параллелепипеда V = 1. После увеличения каждого ребра параллелепипеда в 2 раза его объем будет равен: V = V = · 1 = 8·1 = 8. В бланк ответов: 8

Пример 2.

В10. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 64. Чему равен объем параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в 4 раза? Решение: Объем прямоугольного параллелепипеда V = 64. После уменьшения каждого ребра параллелепипеда в 4 раза его объем будет равен: . В бланк ответов: 1

В10. Объем цилиндра равен 1 см³. Радиус основания уменьшили в 2 раза, а высоту увеличили в 3 раза. Найдите объем получившегося цилиндра. Ответ дайте в см³. Решение. (см³). Радиус основания уменьшили в 2 раза, а высоту увеличили в 3 раза, тогда В бланк ответов: 0,75

Пример 3.

Пример 4.

В10. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его рёбра увеличить в восемь раз? Решение: После увеличения всех рёбер правильного тетраэдра в 8 раз его объем увеличится в = 512 раз. В бланк ответов: 512

Пример 5.

В10. Объем данного правильного тетраэдра равен 64 см³. Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого в 2 раза меньше ребра данного тетраэдра. Ответ дайте в см³. Решение: Объем данного правильного тетраэдра V = 64 см³. После уменьшения каждого его ребра в 2 раза его объем будет равен: . В бланк ответов: 8

Пример 6.

В10. Объем данного правильного тетраэдра равен 2 см³. Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого в 3 раза больше ребра данного тетраэдра. Ответ дайте в см³. Решение: Объем данного правильного тетраэдра V = 2 см³. После увеличения каждого его ребра в 3 раза объем будет равен: V = V = · 2 = 27·2 = 54 (см³). В бланк ответов: 54

Пример 7.

В10. Бетонный шар весит 0,75 т. Сколько тонн будет весить шар вдвое большего радиуса, сделанный из такого же бетона? Решение: Бетонный шар весит 0,75 т, значит, шар вдвое большего радиуса будет весить в раз больше, т.е. ·0,75 = 8·0,75 = 6 (т). В бланк ответов: 6

Пример 8.

В10. Кубик весит 800 г. Сколько граммов будет весить кубик, ребро которого в 2 раза меньше, чем ребро первого кубика, если оба кубика изготовлены из одинакового материала? Решение: Кубик весит 800 г, значит, кубик, ребро которого в 2 раза меньше, чем ребро первого кубика, будет весить в раз меньше, т.е. 800: = 800: 8= 100 (г). В бланк ответов: 100