Формула вероятности k успехов в серии из п испытаний Бернулли:
,
где
– число сочетаний из n
элементов по k,
–
вероятность успеха,
=
1 -
– вероятность неудачи в одном испытании,
Пусть Р(А) – вероятность случайного события А при проведении некоторого испытания. Будем рассматривать это испытание как испытание с двумя возможными исходами:
один исход – наступление события А – назовем «успехом»,
вероятность «успеха» Р(А) обозначим ;
другой исход -событие А не
произойдет, т.е. наступление события
-назовем
«неудачей»,
вероятность «неудачи» Р( ) обозначим . Значит, = Р( ) = 1 - Р(А) = 1 - .
элементы теории вероятностей, примеры 23-34
Содержание
Типичные вопросы
а) Игральный кубик бросили десять раз подряд. Какова вероятность того, что «четверка» выпадет ровно 3 раза?
б) Произведено 10 выстрелов; какова вероятность того, что будет ровно 8 попаданий в мишень?
в) Какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза?
Пример 31.
В6. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что орел выпал ровно два раза. Решение:
Эту задачу можно решить по формуле
вероятности двух успехов в серии из
трех испытаний Бернулли:
= 1 - = 1 – 0,5 = 0,5 - вероятность решки (неудачи).
Получим
Другое решение (см. пример 14) Общее число случаев «монету бросают трижды» п=8, так как при бросании монеты трижды получаем 8 возможных вариантов:
Число случаев «орел выпал ровно
два раза» т = 3. Значит, вероятность
того, что орел выпал ровно два раза,
равна: Р(А) =
В бланк ответов: 0,375 |
,
где
- число сочетаний,
=
0,5 - вероятность орла (успеха) при одном
броске,
.
.Пример 32.
В6. Чему равна вероятность появления ровно 3 «орлов» при 5 бросаниях монеты? Решение:
.
Вероятность появления ровно 3
«орлов» при 5 бросаниях монеты равна:
При одном бросании монеты всего возможны 2 результата: Р, О (Р - «решка», О - «орел»). Ровно в половине из них «орел». Значит, p = q = 0,5. В бланк ответов: 0,3125 |
элементы теории вероятностей, примеры 23-34
Содержание
Пример 33.
В6. Каждый из 4 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачными» днями считаются понедельник и пятница. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина? Ответ округлите до сотых. Решение: . Вероятность того, что «удач» будет ровно половина, равна:
вероятность «удачи» равна доле
«удачных» дней среди всех дней недели,
т.е. p= В бланк ответов: 0,25 |
,
q=
.Пример 34.
В6. Бросание кубика «удачно», если выпадет 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 3 бросаний из 5 будут «удачными»? Решение: . Вероятность того, что ровно 3 бросаний кубика из 5 будут «удачными», равна:
«Удачные» результаты 5 и 6 составляют
треть количества всех возможных
результатов: 1, 2, 3, 4, 5, 6, значит, p= В бланк ответов: 0,16 |
,
q=
.Пример 35.
В6. Испытание состоит в одновременном бросании трех различных монет. «Неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно две «удачи» среди 3 бросаний? Решение:
.
Вероятность того, что будет ровно
две «удачи» среди 3 бросаний трех
различных монет, равна: «Удача» при одном бросании состоит в том, что «решек» выпало меньше, чем «орлов». Всего возможны 8 результатов: РРР, РРО, РОР, ОРР, РОО, ОРО, ООР, ООО (Р - «решка», О - «орел»). Ровно в половине из них «решек» меньше «орлов»: РОО, ОРО, ООР, ООО. Значит, p = q = 0,5. В бланк ответов: 0,375 |
элементы теории вероятностей, примеры 23-34
Содержание
ПРОСТЕЙШИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРАВИЛА
И ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Элементарные события (элементарные исходы) опыта – простейшие события, которыми может окончиться случайный опыт.
Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна 1.
Вероятность события А равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию.
Объединение событий
А
В
– событие, состоящее из элементарных
исходов, благоприятствующих хотя бы
одному из событий А, В.
Пересечение событий
А
В
– событие, состоящее из элементарных
исходов, благоприятствующих обоим
событиям А и В.
Противоположное событие.
Событие
,
состоящее из тех и только тех элементарных
исходов опыта, которые не входят в А,
называется противоположным событию А.
Несовместные события – события, которые не наступают в одном опыте. Например, противоположные события несовместны.