4. Решение типовой задачи линейного программирования (злп)

4.1 Постановка задачи

Математическая модель любой ЗЛП имеет вид системы m линейных неравенств и (или) уравнений с n переменными (системы ограничений):

Также задана линейная целевая функция , где c_j - целевые коэффициенты.

Необходимо найти такое решение (множество значений переменных) системы ограничений, при котором линейная функция F принимает максимальное (или минимальное) значение: . В общем случае задача может иметь бесконечное множество решений. Решение , которое удовлетворяет ограничениям, называют планом. Если все компоненты x_j ≥ 0 ( ), то решение (план) называют допустимым решением (опорным планом). Множество опорных планов образуют область допустимых решений (ОДР).

Решение , которое удовлетворяет всем ограничениям, условию неотрицательности всех переменных (x_j ≥ 0) и при этом дает max (min) целевой функции F, называется оптимальным решением (оптимальным планом).

Условие задачи:

Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II. На их производство расходуется три вида сырья A, B, C, объемы которых ограничены складскими запасами.

Потребность a_ij на каждую единицу j-го вида продукции (j = 1, 2) i-го вида сырья (i = 1, 2, 3), запас b_i соответствующего вида сырья и прибыль с_j от реализации единицы j-го вида продукции (с_j – единичная прибыль, целевые коэффициенты) заданы таблицей:

Виды сырья, i	Виды продукции, j		Запасы сырья, bi
	I	II
	ресурсные коэффициенты aij
A	a11 = 13	a12 = 24	b1 = 312
B	a21 = 32	a22 = 32	b2 = 480
C	a31 = 58	a32 = 29	b3 = 696
Единичная прибыль cj (у. е.)	c1 = 4	c2 = 3
План (ед.)	x1	x2

Из таблицы следует, что для производства единицы изделия I вида требуется затратить 13 кг сырья А, 32 кг сырья В и 58 кг сырья С. Для производства единицы изделия II вида требуется затратить 24 кг сырья А, 32 кг сырья В и 29 кг сырья С. Производство обеспечено запасами сырья А в количестве 312 кг, сырья В – 480 кг, сырья С – 696 кг. Прибыль от реализации единицы готового изделия I вида составит 4 у. е., изделия II вида – 3 у. е.

Заранее планируется произвести продукции обоих видов в количестве не менее 10 единиц.

Требуется составить оптимальный план производства продукции I и II видов , обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов.

Обозначим через неизвестную x₁ – количество изделий I вида, x₂ – количество изделий II вида, которое необходимо производить.

В условии задачи сформулированы ограничения на запасы каждого вида сырья, т.е. потребление ресурсов по каждому виду (А, В, С) не превзойдет имеющихся запасов b_i. Кроме того, ограничения накладываются на общее количество производимой продукции (не менее 10 ед.), а также необходимо указать неотрицательность переменных x₁≥0, x₂≥0.

Запишем эти ограничения в виде системы неравенств (составляем математическую модель):

(1)

Например, величина 13х₁ в первом неравенстве – это количество сырья А, необходимое для производства продукции I вида в количестве х₁ изделий. Четвертое неравенство (x₁ + x₂ ≥ 10) представляет собой условие на ограничение производимого количества продукции обоих видов.

Составим целевую функцию общей прибыли, получаемой от реализации всей произведенной продукции: . Здесь 4х₁ – прибыль от продажи х₁ единиц продукции I вида, 3х₂ – прибыль от продажи х₂ единиц продукции II вида.