Логика предикатов

Логика предикатов – это расширение возможностей логики высказываний, позволяющее строить высказывания с учетом свойств объектов высказывания или отношений между ними.

Если неизвестны объекты высказывания или отношения между объектами высказывания, то такое высказывание называют высказывательной функцией. Высказывательную функцию иначе называют предикатом* и обозначают символом Р(…). Аргументами предиката являются предметные переменные и предметные постоянные.

Множество, на котором даны предметные переменные и предметные постоянные, называют областью определения предиката или универсумом.

Для ограничения области определения предикатов на множестве предметных переменных вводят дополнительные логические операторы, которые называют кванторами.

Так, суждение, в котором утверждается или отрицается наличие каких-либо свойств или отношений у части предметных переменных, называют частным суждением.

Для формального описания таких суждений используютлогический оператор « x», который получил название квантор существования. Предикат или сложную высказывательную функцию записывают после квантора существования в круглых скобках x(Р(x1, x2, …, хi,…, xn) или x(F(x1, x2, …, хi,…, xn). На естественном языке эта запись означает «существуют такие предметные переменные хi, для которых Р(хi) истинно». Иначе это выражают словами «один», «несколько» или часть хi» и т.п.

Суждение, в котором утверждается или отрицается наличие каких-либо свойств для всех предметных переменных области определения или отношений между ними, называют общими суждениями. Как правило, эти суждения в естественном языке отмечают словами «все», «каждый», «любой» и т.п. Для формального описания таких суждений используют логический оператор – « x», который получил название квантор всеобщности. Предикат или сложную высказывательную функцию записывают после квантора всеобщности в круглых скобках x(Р(x1,x2, …, xn)) или x(F(x1, x2, …, xn )). На естественном языке эта формальная запись означает «для всех предметных переменных xi значение Р(хi) истинно» или «для каждой предметной переменной хi значение Рn(хi) истинно»..

Если общее суждение распространяется на несколько предметных переменных, то перед предикатом или сложной высказывательной функцией записывают кванторы всеобщности для каждой предметной переменной, т.е. x y z... (P(x, y, z, ..., )).

Например, x(P1(x)&P2(x)):= «все студенты имеют зачетные книжки»,

x y(P1(x)&P3(x,y)&P2(x)):= «все студенты всех университетов имеют зачетные книжки»,

x(P1(x)&P4(x, ‘ХАИ’)&P5(x, ‘САПР’)& &P1(x)):= «все студенты, обучающиеся в университете ХАИ по специальности «САПР», имеют зачетные книжки»,

Логические операции

Простейшими операциями в логике предикатов являются те же операции, что в алгебре высказываний.

Отрицание (¬F(t1, t2,…, tn)) есть одноместная операция, посредством которой из данной формулы F(t1, t2,…, tn) получают ее отрицание.

Пример. Если Р(х. ‘a’):= «х находится на a», где 'a’= 'стол', то выводимы формулы:

а) x(¬Р(х, ‘a’)):= «для всех х верно, что х не находится на столе».

b) ¬ x(Р(х, ‘a’)):= «не для всех х верно, что х находится на столе»,

c) ¬ x(Р (х, ‘a’)):= «нет таких х, для которых верно, что х находится на столе”.

Конъюнкция (F1(t11, t12,…, t1n)&F2(t21, t22,…, t2n)) есть двуместная операция, посредством которой из формул F1 и F2 получают новую формулу F (t11, t12,…, t1n, t21, t22,…, t2n ) с числом предметных переменных и постоянных, равным объединению их в исходных формулах. Значение формулы истинно тогда и только тогда, когда истинны обе формулы F1 и F2.

Пример. Если P1(х):= «выдающийся музыкант» и P2(х):= «талантливый писатель», то выводимы формулы:

а) x(P1(х))& x(P2(х)):= «существуют выдающиеся музыканты и существуют талантливые писатели»,

b) x(P1(х)&P2(х)):= «существуют лица, которые являются талантливыми писателями и выдающимися музыкантами».

с) ¬ x(P1(х)&P2(х)):= «не все талантливые писатели являются выдающимися музыкантами».

Пример. Если х - предметная переменная (индивид), a - предметная постоянная (например ‘а’:= «Саша») и P1 (х, ‘a’):= «х дружит с ‘a’», P2. (х, ‘a’):= «х встретил ’a’», то выводимы формулы :

а) x(P1.(х, ‘a’)&P2.(х, ‘a’)):= «Саша встретил друга»,

b) x(¬P1.(х, ‘a’)&P2.(х, ‘a’)):= «Саша встретил недруга»,

c) ¬ x(P1.(х, ‘a’)&P2.(х, ‘a’)):= «не каждый встречный есть друг Саши»,

d) x(P1.(х, ‘a’)&(¬P2.(х, ‘a’))):= «есть друзья, с которыми Саша не встречается».

Обратите внимание, как меняется смысл каждого вы сказывания.

Дизъюнкция (F1(t11, t12,…, t1n) F2(t21, t22,…, t2n)) есть двуместная операция, посредством которой из формул F1 и F2 получают новую формулу F (t11, t12,… t1n, t21, t22,… t2n ) с числом предметных переменных и постоянных, равным объединению их в исходных формулах. Значение формулы ложно тогда и только тогда, когда ложны обе формулы F1 и F2.

Пример. Если предметные переменные х, у - города России и P1(х, y):= «транспортная связь х и у поездом», P2( х, y):= «транспортная связь х и у самолетом», P3(х, y):= «транспортная связь х и у автобусом», то выводимы формулы:

a) x y(P1.(х, y) P2.(х, y) P3.(х, y)):= «для всех городов России (x и y) возможна транспортная связь поездом, автобусом или самолетом»,

b) ¬ x y(P1. (х, y) ¬P2. (х, y) ¬P3. (х, y)) - «не для всех городов x существуют города y, между которыми нет транспортной связи автобусом или самолетом, но есть поездом».

Импликация (F1(t11, t12,…, t1n)→F2(t21, t22,…, t2n)) есть двухместная операция, посредством которой из формул F1 и F2 получают новую формулу F(t11, t12,…, t1n, t21, t22,…, t2n ) с числом предметных переменных и постоянных, равным объединению их в исходных формулах. Значение формулы ложно тогда и только тогда, когда F1 истинно, а F2 - ложно.

Пример. Если х - индивид, P1(x):= «быть судьей», P2(x):= «быть юристом», то выводимы формулы:

a) x(P1(x)→P2(x)):= «все судьи – юристы»,

b) ¬ x(P2(x)→P1(x)):= «неверно, что все юристы – судьи.

Эквивалентность (F1(t11, t12,…, t1n)↔F2(t21, t22,…, t2n)) есть двуместная операция, посредством которой из формул F1 и F2 получают новую формулу F (t11, t12,…, t1n, t21, t22,…, t2n ) c числом предметных переменных и постоянных, равным объединению их в исходных формулах. Значение формулы истинно тогда и только тогда, когда обе формулы F1 и F2 имеют одно и то же значение истины или лжи.

Пример. Если х - предметная переменная, Р(х) - предикат, то выводимы формула:

a) x(P(x))↔¬ x(¬P(x)):= «существует переменная х, для которой Р(х) истинно эквивалентна не для всех х Р(х) ложно».