Формальная (Аристотелева) логика и логика высказываний

Высказывание (утверждение) — грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом и являющееся истинным или ложным.

• Простое высказывание (неразложимое, атомарное, атом) не включает других высказываний в качестве своих частей

При исследовании сложных текстов понятие «простые высказывания» замещают понятием «пропозициональные* переменные», которые обозначают прописными буквами латинского алфавита A, B, C, … Истинность или ложность пропозициональной переменной будем отмечать символами «и» – истина или «л» – ложь.

Пример

• если A1::= «3 - простое число», то A1 = и, • если A2::= «3 - вещественное число», то A2 = и, • если A3::= «3 - целое число», то A3 = и, • если B1::= «3, 14…- рациональное число», то B1 = л, • если B2::= «3, 14…- не рациональное число», то B2 =и, • если C::= «Колумб открыл Америку», то C = и, • если D::= «Киев - столица Узбекистана», то D = л, • если E1::= «Число 6 делится на 1, 2 и 3», то E1 = и

символ «::=» означает, что пропозициональная переменная слева есть формальное описание высказывания, стоящего справа, а её значение принадлежит множеству {и, л}.

• Сложное высказывание получается из простых с помощью логических связок: отрицание, конъюнкция (и), дизъюнкция (или), исключающая дизъюнкция.

Для формального обозначения этих связок вводят символы, которые называют логическими связками.

Например, «∨»::= «или», «&»::= «и», «¬»::= «не», «→»::= «если…,то…», «↔»::= «…тогда и только тогда, когда …» или «∨» - дизъюнкция*, «&» - конъюнкция**, «¬» - отрицание, «→» - импликация***, «↔» - эквивалентность***

Для построения более сложных высказываний используют вспомогательные символы «(», «)» - скобки.

* лат. disjnctivus – разделительный,

** лат. conjunctivus – соединительный,

*** лат. implicatio – сплетение, переплетение,

****лат aequus – равный + valentis, – имеющий значение, цену*

Пример простого высказывания: «Все медведи любят мед», сложного — «Некоторые медведи любят мед и (некоторые медведи) молодые побеги бамбука». (A1&A2) = и,

Аристотель рассматривал одну из разновидностей простых высказываний — категорические высказывания (суждения), т. е. такие, в которых утверждается или отрицается наличие какого-то признака у всех или некоторых предметов рассматриваемого класса.

Пример: «S есть Р» и «S не есть Р », где S — имя предмета (субъекта), Р — имя признака (предикат). «Земля есть планета ».

Рассматривают также высказывания об отношениях, в которых устанавливаются отношения между двумя или большим числом предметов.

Пример: «Три меньше пяти», «Москва больше Барнаула».

Высказывания об отношениях не могут быть сведены к категорическим высказываниям.

Особенность именно категорических высказываний в том, что не просто устанавливается связь предмета и признака, но дается количественная характеристика субъекта, т. е. «все», «некоторые»:

Каждое из этих четырех выражений (a, і, е, о) Аристотель рассматривал как логические постоянные, не имеющие самостоятельного содержания и позволяющие из двух обладающих содержанием имен получить содержательные, являющиеся истинными или ложными простые высказывания. При этом имена S, Р не должны быть единичными или пустыми.

При составлении сложных высказываний, осуществлении логического вывода (получения следствия из двух посылок) необходимо заботиться не только об истинности заключения, но и его осмысленности. Осмысленность можно проанализировать формально на основе так называемого «логического квадрата» (рис.). На логическом квадрате можно выделить особые фигуры (логического вывода ), следуя которым гарантированно получим осмысленный результат.

Логический квадрат

Фактически «Логический квадрат» задает правила вывода (отношения между формулами). Таким образом, определив алфавит, правила вывода, синтаксис, мы задали некоторую логическую теорию, в данном случае — исчисления высказываний (ИВ).

Отличительная особенность ИВ, в отличие от появившегося позднее исчисления предикатов (ИП), состоит в том, что в качестве терминов (S,P) могут выступать именно логические переменные, в то время как в ИП на месте термина может оказаться целый предикат. Логический вывод на категорических высказываниях может происходить индуктивно или дедуктивно.

В дедуктивном умозаключении связь посылок и заключения опирается на логический закон. Заключение с логической необходимостью вытекает из принятых посылок, от истинных посылок всегда ведет к истинному заключению. Для дедукции характерен переход от общего знания к частному.

В индуктивном умозаключении связь посылок и заключения опирается не на логический закон, а на некоторые фактические или психологические основания, не имеющие формального характера. Индукция дает вероятные заключения. Максимум, о котором можно здесь говорить, — определенная степень вероятности выводимого утверждения. Для индукции характерен переход от множества частных случаев к общему знанию — обобщение.

Основное отличие индукции от дедукции состоит в том, что дедукция — это логический переход от одной истины к другой, а индукция — переход от достоверного знания к вероятностному.

Правильный вывод от истинных посылок всегда ведет к истинному заключению. Позволяет получить новое знание с помощью чистого рассуждения, без обращения к опыту и интуиции. Если хотя бы одна из посылок является ложной, правильное рассуждение может давать в итоге, как истину, так и ложь. Неправильный вывод от истинных посылок может вести как к истинным, так и ложным заключениям.

Теория логики предикатов задается (как и любая другая) следующими составляющими.

Алфавит логики высказиваний

• Логические константы ИСТИНА и ЛОЖЬ

• Логические переменные, обозначаемые строчными буквами латинского алфавита,

• Логические связки И, ИЛИ, НЕ, ЭКВИВАЛЕНТНО,СЛЕДУЕТ

• Круглые скобки.

Правила синтаксиса.

Предложения языка логики высказываний, называемые также формулами или высказываниями, составляют в соответствии со следующими правилами:

1. логические константы и переменные являются простыми предложениями;

2. сложные предложения формируются из простых с помощью логических связок;

3. предложение, заключённое в скобки, также является предложением логики высказываний;

4. из предложений с помощью связок и скобок можно образовать новое предложение;

5. связки имеют следующий приоритет: ¬ & ∨ → ≡.

Правила вывода записаны в виде логического квадрата.

Семантика логики высказываний определяется через интерпретацию ее формул, т.е. устанавливает соответствие между логическими переменными и изменяющимися свойствами объектов и между значениями переменных (константами) и значениями свойств. Отношения между объектами определяет взаимосвязь переменных в формуле. Это позволяет по значению формул после подстановки вместо переменных конкретных значений судить о наличии или отсутствии у среды тех или иных свойств или отношений. Подстановка в формулу констант вместо переменных называется конкретизацией.

Семантика логических формул определяется с помощью таблиц истинности. В левой части таблицы перечисляются все значения аргументов формулы, а в правой ее значения соответствующие наборам значений аргументов. Таблицу истинности можно построить для любой правильно построенной формулы. Семантика логических связок представлена в следующей таблице:

Таблица. Семантика основных логических связок.

Импликация. Многообразные аналоги имеются в естественном языке для импликации .Основная знаковая форма, соответствующая высказыванию «А->В» в естественном языке: «Если А, то В», хотя часто употребляют такие: «По скольку А, постольку В»; «Коль скоро А, то В»; «В, если А»; «А достаточно для В»; «В необходимо для А» или просто, опуская логическую связку, говорят: «Назвался груздем — полезай в кузов»; «Сказал А - говори В». Во всех таких случаях подразумевается: «Если А, то В». Эти случаи надо отли чать от тех, когда словосочетание «если..., то ...» употребля ется вместо союза «и» в совокупности с некоторым противо поставлением, например, «Если вчера было жарко, то сегодня хоть пальто надевай».

Условная связь «если..., то...» будучи средством выражения законов науки, полезна также для выяснения важных с точки зрения логической культуры понятий необходимого и достаточного условия чего-либо.

Мы говорим, что обстоятельство А (признак, событие, явление и т. п.) является достаточным условием обстоятельства В, если и только если Л и В связны между собой таким образом, что в каждом случае, когда имеется А, имеется и В, то есть для каждого случая истинно высказывание «Если Л, то В».

Обстоятельство А является необходимым условием обстоятельства В, если и только если Аи В связаны между собой таким образом, что в каждом случае при отсутствии А, отсутствуетВ, то есть в каждом случае истинно высказывание «Если неверно Л, то неверно В» (это высказывание эквивалентно высказыванию «Если В, то А»).

Из сказанного видно, что если А — необходимое условие В, то В — достаточное условие А, и наоборот. А из приведен ного выше примера видно, что делимость суммы цифр числа на 3 есть достаточное условие делимости на 3 самого числа. Естественно в этом случае, как и во всех подобных, ставить вопрос, является ли оно необходимым? Известно из арифметики, что это действительно так.

Присвоение логическим выражениям значения истина называется интерпретацией. Если для логической формулы существует интерпретация, то по таблице истинности можно определить, какие отношения между свойствами объектов, обозначенных переменными, имеют место (формула истинна) и не имеют место (формула ложна).

Формулы, истинные на всех наборах своих аргументов, называют общезначимыми. Этот факт обычно записывается: ╞α где α – логическая формула.

Проверку формулы на общезначимость можно определить с помощью таблицы истинности: если формула истинна на всех возможных аргументов, то эта формула общезначима.

Пример: Рассмотрим формулу

Ее таблица истинности, представлена ниже

Формулы вида α1 → α2 называются импликативными, где α1 – посылка, а α2 заключение. Соответственно связку → называют импликацией.

В логике высказываний известно много общезначимых формул, называемых законами логики высказываний (аксиоматика). Наиболее известны следующие:

Имя закона	Равносильные формулы Fi≡Fj
Коммутативности
Ассоциативности	,
Дистрибутивности
Идемпотентности	; .
Исключенного
Противоречия
Де Моргана	; ;
Поглощения
Порецкого	; .
Обобщенного склеивания	; .
Дополнения	¬(¬a) ≡ a.
Константы	; . ; .

Импликацию можно выразить через  дизъюнкцию  и  отрицание:

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания ("не"), затем конъюнкция ("и"), после конъюнкции — дизъюнкция ("или") и в последнюю очередь — импликация.