Интегрирование подстановкой.
Во многих случаях можно упростить, если вместо ввести новую переменную , положив
,
(2)
тогда
.
Для приведения данного интеграла к новой переменной достаточно привести к новой переменной его подынтегральное выражение
,
(3)
где
,
в справедливости чего легко убедиться, продифференцировав обе части равенства (3) и воспользовавшись затем формулами (1) и (2).
Метод подстановки, или, как его также называют, метод замены переменной интегрирования, является одним из наиболее эффективных и распространенных методов интегрирования. С другой стороны, не существует общих правил, которые во всех случаях позволяли бы найти подстановку, ведущую к желаемой цели. Поэтому, чем больше примеров самостоятельно решить, тем с большим успехом можно овладеть методом подстановки.
Пример. Найти
.
Решение. Данный
интеграл не табличный, но есть интеграл
,
сходный с данным. Поэтому введем новую
переменную
,
связанную с
зависимостью:
,
.
Дифференцируя это равенство, получим:
,
,
откуда
.
Подставив результат в данный интеграл,
имеем:
Возвращаясь к переменной , находим:
.
Для надежности проверяем результат дифференцированием:
– верно.
Интегрирование по частям.
Пусть
и
– две любые дифференцируемые функции
от
.
Тогда дифференциал произведения
вычисляется по следующей формуле:
.
Отсюда, интегрируя обе части последнего равенства, находим:
,
или
,
откуда
.
(4)
Полученная
формула называется формулой интегрирования
по частям для неопределенного интеграла.
Она сводит нахождение интеграла
к нахождению интеграла
,
и если функции
и
удается подобрать так, чтобы последний
интеграл брался проще, чем исходный, то
цель будет достигнута.
Пример.
Найти
.
Решение.
Пусть
,
,
тогда
,
.
По формуле (4) находим:
,
.
Пример.
Найти
Решение.
Пусть
,
,
тогда
,
.
По формуле (4) находим:
,
.
§ 4. Определенный интеграл
Важным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа.
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
К понятию определенного интеграла приводят задачи вычисления площадей плоских фигур, длин дуг, объемов тел, вычисление работы, массы неоднородных стержней, центров тяжести плоских фигур и дуг и т.д. Рассмотрим некоторые из них.
2. Площадь криволинейной трапеции
Криволинейной
трапецией
назовем плоскую геометрическую фигуру,
ограниченную двумя прямыми
и
,
отрезком
оси
и графиком некоторой непрерывной функции
,
.
Найдем площадь этой фигуры. Для этого:
1)
разобьем отрезок
произвольно расположенными, но следующими
друг за другом точками
,
,
,...,
;
2) в
каждом из полученных отрезков длины
выберем произвольную точку
и вычислим значение функции в этих
точках
;
3)
рассмотрим прямоугольники с основаниями
и высотами
и найдем их площади
.
Сложив эти числа, получим сумму
.
Значение полученной суммы
приближенно равно площади
криволинейной трапеции
(чем мельче отрезки
,
тем лучше будет это приближение).
4)
введем обозначение:
.
Для получения точного выражения площади
криволинейной трапеции надо перейти к
пределу в полученной сумме
при
и
,
т.е.
.