§ 3. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные приемы интегрирования

1. Основные понятия

Одной из основных задач дифференциального исчисления является нахождение производной функции или дифференциала заданной функции.

Первой основной задачей интегрального исчисления является обратная задача – отыскание функции по ее производной или заданному ее дифференциалу. Второй основной задачей интегрального исчисления является определение площади плоской области и объема тела вращения.

Функция называется первообразной для функции , если функции и связаны следующим соотношением:

.

Пример. Функция вяляется первообразной для функции , так как .

Если для данной функции существует первообразная, то она не является единственной. Так, в предыдущем примере в качестве первообразных можно взять следующие функции:

,

или в общем виде

,

где – произвольная постоянная, так как при любом значении

.

В связи с этим возникает вопрос, исчерпывает ли функция вида все возможные первообразные для или существуют еще функции другого вида, которые также будут первообразными для .

Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Если есть какая-либо из первообразных для данной функции , то самое общее выражение для первообразной имеет вид:

,

где – есть первообразная постоянная.

Доказательство. Пусть есть любая функция, имеющая своей производной .

С другой стороны, рассматриваемая функция также имеет своей производной, то есть .

Вычитая это равенство из предыдущего, имеем:

и, следовательно,

,

где есть постоянная, что и требовалось доказать.

Действительно, если производная некоторой дифференцируемой функции , то сама функция может быть только постоянной.

Полученный результат можно сформулировать и так: если производная (или дифференциалы) двух функций тождественно равны, то сами функции отличаются лишь постоянным слагаемым.

Если функция является первообразной для , то семейство всех ее первообразных функций называется неопределенным интегралом от функции и обозначается как .

Таким образом, по определению

,

если

.

При этом функцию называют подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, переменную – переменной интегрирования, а знак – знаком интеграла. Действие, с помощью которого по данной функции находим ее первообразную , называется интегрированием функции .

Пример. Найти неопределенный интеграл от функции .

Решение. Первообразной от будет функция , так как . В таком случае , где – произвольная постоянная.

2. Таблица основных интегралов

Степенные функции:

;

.

Показательные функции:

;

.

Тригонометрические функции:

;

;

;

;

;

.

Дробные рациональные функции:

;

;

.

Иррациональные функции:

;

;

.

3. Основные свойства неопределенного интеграла

1. Если , то , где – произвольная постоянная.

2. . (1)

3. , где – произвольная постоянная.

4. , , .

5. .

Пример. Найти .

Решение.

4. Простейшие способы интегрирования.

Непосредственное интегрирование

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл удается привести к одному или нескольким табличным интегралам. К табличному виду обычно удается привести не очень сложные интегралы путем элементарных тождественных преобразований подынтегральных функций, а также воспользовавшись основными свойствами неопределенного интеграла. Поясним сказанное примерами.

Пример. Найти .

Решение.

Выполнив под знаком интеграла очевидные тождественные преобразования (возвести разность в квадрат), свели данный интеграл к трем табличным интегралам , постоянная (которая в данном примере равна сумме трех постоянных ) появляется тогда, когда исчезают знаки интеграла.

Пример. Найти .

Решение.

.