Свойства градиента

1. Производная функции по направлению есть скалярное произведение градиента и единичного вектора , задающего направление .

2. Градиент функции в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке, причем .

3. Если градиент дифференцируемой функции в точке отличен от нуля, то вектор перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.

Пример. Найти градиент функции в точке М(1,2).

Решение. Находим

, ,

, .

Следовательно,

§ 2. Экстремумы функции двух переменных

1. Частные производные высших порядков. Экстремумы функции двух переменных

Если частные производные и функции сами являются дифференцируемыми функциями, то можно найти также и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка, то есть

, , , .

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков. Частная производная второго и более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Если частные производные второго порядка функции непрерывны в точке , то в этой точке смешанные частные производные равны, то есть .

Пример. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Так как , , то

, ,

, .

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая - окрестность точки , что во всех ее точках , отличных от , выполнятся неравенство ( ).

Рис. 9

На рисунке 9: – точка максимума, а – точка минимума функции . Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.

Теорема (необходимые условия экстремума). Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: , .

Геометрически равенства и означают, что в точке экстремума функции касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию , параллельна плоскости , так как уравнение касательной плоскости есть .

Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция имеет максимум в точке , (см. рис. 10), но не имеет в этой точке частных производных.

Рис. 10

Точки, в которой частные производные первого порядка функции равны нулю, то есть и , и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Условия и являются необходимыми, но не достаточными условиями существования экстремума. Так, например, для функции точка (0,0) является критической (в ней и обращаются в ноль), однако, очевидно, никакого экстремума в этой точке нет (см. рис. 11).

Рис. 11

Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой окрестности стационарной точки функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно причем , , .

Обозначим

.

Тогда:

1. если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если , и минимум, если ;

2. если , то функция в точке экстремума не имеет;

3. если , то экстремум в точке может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Пример. Найти точки экстремума функции .

Решение. 1) Найдем частные производные первого порядка: , . Точки, в которых частные производные не определены отсутствуют.

2) Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

Отсюда получаем две точки: и .

3) Находим частные производные второго порядка данной функции: , , .

4) В точке имеем: , , , отсюда , то есть – точка экстремума. Так как , то – точка максимума.

В точке : , , , отсюда . Проведем дополнительное исследование. Значение функции в точке равно нулю. Рассмотрим точки из окрестности точки такие, что , тогда , а теперь рассмотрим точки из той же окрестности, но с условием , : . Таким образом, в любой окрестности точки функция принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке функция экстремума не имеет.