4. Дифференцирование сложных функций
Пусть задана
функция
,
где переменные
и
,
в свою очередь, являются функциями
независимой переменной
.
Тогда функция
будет сложной функцией независимой
переменной
,
а переменные
и
будут для нее промежуточными переменными.
Теорема.
Если
функции
дифференцируемы в точке
,
а функция
дифференцируема в точке
,
то сложная функция
также дифференцируема в точке
,
причем
.
(1)
Пример.
Найти
,
где
.
Решение.
Найдем сначала
:
,
,
,
.
Тогда, согласно формуле (1), имеем
5. Дифференцирование неявных функций
Функция называется неявной, если она задается уравнением
,
(1)
неразрешенным относительно .
Найдем частные
производные
и
неявной функции
,
заданной уравнением (1). Для этого,
подставив в уравнение вместо
функцию
,
получим тождество
.
Частные производные по
и по
функции, тождественно равной нулю, также
равны нулю:
,
.
Откуда
и
(
).
(2)
Пример.
Найти
,
где
.
Решение.
Здесь
,
,
,
.
Тогда по формуле (2) имеем:
,
.
6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть функция
,
дифференцируемая в точке
,
задает в
пространстве поверхность
.
Пересечем эту поверхность плоскостями
и
(см. рис.4). Плоскость
пересекает поверхность
по некоторой линии
,
уравнение
которой получается подстановкой в
выражение исходной функции
вместо
числа
.
Точка
принадлежит
кривой
.
Рис. 6
В силу дифференцируемости
функции
в точке
функция
также
является дифференцируемой в точке
.
Следовательно, в этой точке плоскости
к кривой
может быть проведена касательная
.
Проводя аналогичные рассуждения для
сечения
,
построим касательную
к кривой
в точке
.
Прямые
и
определяют плоскость
,
которая называется касательной
плоскостью
к поверхности
в точке
.
Прямая, проходящая
через точку
и перпендикулярная касательной плоскости,
построенной в этой точке поверхности,
называется нормалью
к
поверхности в точке
.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то касательная плоскость к поверхности, заданной уравнением , в точке определяется уравнением
,
(1)
а нормаль к этой поверхности в заданной точке имеет уравнение
=
=
. (2)
Если поверхность
задана неявно уравнением
и функция
дифференцируема в точке
,
то касательная плоскость к этой
поверхности в точке
определяется уравнением
(3)
а нормаль к этой поверхности в заданной точке имеет уравнение
=
=
. (4)
Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, то есть не особых точек поверхности. Точка поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.
Пример.
Составить уравнение касательной
плоскости и нормали к поверхности: а)
в точке
,
б)
в точке
.
Решение. а) Поверхность задана явно, поэтому воспользуемся формулами (1), (2). Здесь
,
,
,
.
Тогда искомое уравнение касательной плоскости имеет вид:
или
и уравнение нормали:
=
=
.
б) Поверхность задана неявно, поэтому воспользуемся формулами (3), (4). Здесь
,
,
,
,
,
,
.
Тогда искомое уравнение касательной плоскости имеет вид:
или
и уравнение
нормали:
=
=
.