2. Предел и непрерывность функции двух переменных
Большая часть понятий математического анализа, определенных ранее для функций одной переменной, может быть перенесена на случай двух переменных.
-окрестностью
точки
называется круг, с центром в точке
и радиусом
.
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
точки
,
за исключением, может быть, самой этой
точки. Число А называется пределом
функции
при
и
(или в
точке
),
если для любого, сколь угодно малого
положительного числа
,
найдется положительное число
(зависящее от
),
такое, что для всех точек из
-окрестности
точки
,
выполняется неравенство
.
Обозначается
предел так:
.
Геометрический
смысл предела функции двух переменных
состоит в следующем: каково бы ни было
число
,
найдется
-
окрестность точки
,
что во всех ее точках
,
отличных от
,
аппликаты соответствующих точек
поверхности
отличаются от числа А
по модулю меньше, чем на
.
Пример.
Найти предел
.
Решение. Обозначим
.
Условие
,
равносильно тому, что
.
Тогда данный предел запишется в виде
неопределенность раскрывается по правилу Лопиталя
Полным приращением
функции
в точке
называется
выражение
,
где
-
любая точка из области определения
функции.
Обозначим
,
,
тогда
.
Функция
называется
непрерывной
в точке
,
если ее полное приращение в этой точке
стремится к нулю при
и
,
то есть
.
3. Частные производные и дифференцируемость функции двух переменных
Частным
приращением функции
в точке
по переменной х называется
выражение
.
Частным
приращением функции
в точке
по переменной у называется
выражение
.
Частной
производной от функции
по переменной
х
называется предел отношения частного
приращения
к приращению
аргумента
при
стремлении
к нулю.
Обозначают частные производные одним из символов
,
или
.
Итак, по определению
.
Аналогично определяется частная производная по переменной у:
.
Из определения частных производных следует, что их нахождение сводится к обычному дифференцированию данной функции одной выделенной переменной при условии, что все остальные переменные считаются константами.
Пример. Найти частные производные функций:
а)
,
б)
.
Решение.
а)
.
Чтобы найти частную производную по
,
считаем
постоянной величиной. Таким образом,
.
Аналогично, дифференцируем по
,
считая
постоянной, находим частную производную
по
:
.
б)
.
При фиксированном
имеем степенную функцию от
.
Таким образом,
.
При фиксированном
функция является показательной
относительно
и
.
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде
,
(1)
где
и
– некоторые числа;
и
- бесконечно малые при
,
функции
,
то есть
и
.
Теорема. Если
функция
дифференцируема
в точке
то она непрерывна в этой точке и имеет
в ней частные производные по каждому
аргументу
и
,
причем
,
.
В силу теоремы, равенство (1) можно записать в виде
,
(2)