Тема 3. Декартовы координаты и векторы в пространстве

3.1. Введение декартовых координат в пространстве

Возьмем три взаимно перпендикулярные прямые x, y, z, пересекающиеся в точке O. Через каждую пару прямых проведем плоскости. Получим три плоскости xy, xz и yz.

Данные прямые x, y и z называются координатными осями.

Плоскости xy, xz и yz называются координатными плоскостями.

Точка O - точка пересечения прямых x, y и z называется началом координат (рис.31)

Рис 31

Координатой x точки A называется число, равное абсолютной величине длине отрезка OAx: положительное, если точка Ax лежит на положительной полуоси x, отрицательное, если на отрицательной полуоси. Аналогично можно определить координаты у и z

Координаты точки A в пространстве записываются так: A(x;y;z)(рис.32)

Рис.32

Основные формулы

Расстояние между точкамиA1(x1;y1) и A2(x2;y2) :

Координаты (x;y) середины отрезка с концами A1(x1;y1) и A2(x2;y2)

Задача 1. Даны точки А(1; 2; 3), В(0; 1; 2), С(0; 0;3), D(1; 2; 3). Какие из этих точек лежат: 1) в плоскости ху; 2) на оси z; 3) в плоскости уz?

Решение. У точек плоскости ху координата z равна нулю. Поэтому только точка Dлежит в плоскости ху. У точек плоскости уzкоордината zравна нулю. Следовательно, точки В и С лежат в плоскости уz. У точек на оси z две координаты (х и у) равны нулю. Поэтому только точка С лежит на оси z.

Задача 2. В плоскости ху найти точкуD, равноудаленную от трех точек: А (0; 1;--1),

В (-1; 0; 1),С(0;-1;0)

Решение:

АD² = (х – 0)² + (у – 1)² + (0 + 1)²,

ВD² = (х+ 1)² + (у – 0)² + (0 - 1)²,

СD² = (х – 0)² + (у + 1)² + (0 - 0)².

Приравнивая первые два расстояния третьему, получим два уравнения для определения х и у:

-4у + 1 = 0, 2х – 2у + 1 = 0. Отсюда х = ; у = - . Искомая точка D( ; - ; 0)

Задачи

Цель. Учиться находить координаты точек пространства, использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы; проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

1.Найдите расстояния от точки (1; 2; -3) до: 1) координатных плоскостей; 2) осей координат; 3) начала координат

2.На оси х найдите точку С (х; 0; 0), равноудаленную от двух точек А(1; 2; 3) и В( -2; 1; 3)

3.Докажите, что четырехугольник АВСDс вершинами в точках А(1; 3; 2), В(0; 2; 4),

С(1;1;4),D(2; 2; 2) является параллелограммом

4. Даны один конец отрезка А(2; 3; -1) и его середина С(1; 1; 1). Найдите второй конец отрезка В (х; у; z).

5 .Найдите координаты вершины Dпараллелограмма, если координаты трех других его вершин известны: 1) А(2; 3; 2), В(0; 2; 4), С(4; 1; 0); 2) А(1; -1; 0), В(0; 1; -1), С(-1; 0; 1); 3) А(4; 2; -1), В(1; -3; 2), С(-4; 2; 1)

6. Даны точки (1; 2; 3), (0; -1; 2), (1; 0; -3). Найдите точки, симметричные данным относительно координатных плоскостей.

7. Даны точки (1; 2; 3), (0; -1; 2), (1; 0; -3). Найдите точки, симметричные данным относительно начала координат.

Ответы к задачам

1.Расстояние от плоскости хуравно3, от плоскости хz равно 2, от плоскости уz равно1; расстояния от осей х,у,z соответственно равны , ; расстояние от начала координат равно 2. С(0; 0; 0) 4. В (0; -1; 3). 5. 1) D(6; 2 ; - 2); 2) D (0; -2; 2), 3) D(-1; 7; -2) 6. (-1; -2; -3), (0; 1; -2), (-1; 0; 3)

3.2 Векторы в пространстве

В пространстве, как и на плоскости, вектором называется направленный отрезок.

Координатами вектора с началом в точке А₁(х₁; у₁; z₁) и концом в точке А₂ (х₂; у₂; z₂) называются числа х₂ – х₁, у₂ – у₁, z₂ – z_1.

Равные векторы имеют равные координаты, и обратно. Это дает основание для обозначения вектора его координатами:

Модуль вектора  заданного своими координатами:
При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. справедливы формулы:
Скалярным произведением  векторов  называется число:   где  - угол между векторами
Скалярное произведение векторов
Косинус угла между векторами     и   находится по формуле:
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности   векторов и    имеет вид:

 Задача 1. Даны четыре точки А ( 2; 7;-3), В(1; 0; 3), С(-3; -4; 5), D(-2; 3; -1). Укажите среди векторов , , , , и равные векторы

 Решение. Надо найти координаты указанных векторов и сравнить соответствующие координаты. У равных векторов соответствующие координаты равны. Например, у вектора координаты: 1 – 2 = -1, 0 – 7 = -7, 3 – (- 3) = 6. У вектора такие же координаты: -3 – (-2) = -1, -4 – 3 = -7, 5 – (- 1) = 6. Таким образом, векторы и равны. Другой парой равных векторов будут и .

Задачи

Цель. Учиться использовать координатный метод для определения взаимного расположения векторов в пространстве; использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы; проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

1.Даны три точки А (1; 0; 1), В(-1; 1; 2), С(0; 2;-1). Найдите точку D(х; у; z),если векторы и равны.

2.Даны векторы (2;п; 3) и (3; 2;т). При каких значениях т и п эти векторы коллинеарны?

3.При каком значении п данные векторы перпендикулярны:

1) а(2; -1; 3), в (1; 3; п),

2) а(п; -2; 1),в (п; -п; 1), 3) а(п; -2; 1), (п; 2п; 4), 4) а(4;2п; -1), в(-1; 1; п)?

4.Даны три точки А(1; 0; 1), В (-1; 1; 2), С(0; 2;-1). Найдите на оси zтакую точку D(0; 0; с), чтобы векторы и были перпендикулярны.

5.Даны четыре точки А(0; 1; -1), В(1; -1; 2), С(3; 1; 0), D(2; -3; 1). Найдите косинус угла φ между векторами и .

6. Даны три точки А(0; 1; -1), В(1; -1; 2), С(3; 1; 0). Найдите косинус угла С треугольника АВС.

Ответы к задачам

1.D (-2; 3; 0).2. п = 3. 1) п = , 2) п = -1, 3) п = 2, 4) п = 4. 4. c = 1. 5. . 6.