Тема 2. Прямые и плоскости в пространстве

2.1. Параллельность прямых и плоскостей

2.1.1. Параллельные прямые

Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (рис.2)

Рис.2

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек (рис.3)

Если две прямые a и b параллельны, то, как и в планиметрии, пишут a  ||  b. Обратите внимание: если прямые a и b параллельны, то можно сказать, что прямая a параллельна прямой b, а также, что прямая b параллельна прямой a.

Рис.3

Приведем несколько примеров параллельных прямых.

1. Противоположные края тетрадного листа лежат на прямых.

2. Прямые, по которым плоскость стены дома пересекает плоскости потолка и пола, являются параллельными.

3. Железнодорожные рельсы на ровной местности также можно рассматривать как параллельные прямых.

В пространстве прямые могут быть размещены так, что они не пересекаются и не параллельны. Этот случай является особым для стереометрии. Прямые, которые не имеют общих точек и не параллельны, называются скрещивающимися (рис.4) Рис.4 Теорема 2. 1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну (рис.5) Рис. 5 Теорема 2.2.Транзитивность параллельности Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Другими словами, если а ||  c и b  ||  c, то a  ||  b(рис.6) Рис.6

Признаки и условия параллельности

Признаком параллельности прямых является достаточное условие параллельности прямых, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямых.

Целесообразно напомнить несколько вспомогательных определений.

Секущая прямая – это прямая, которая пересекает каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

При пересечении двух прямых секущей образуются восемь неразвернутых углов. В формулировке необходимого и достаточного условия параллельности прямых участвуют так называемые накрест лежащие, соответственные и односторонние углы. Покажем их на чертеже (рис.7)

Рис.7

Теорема 2.3. Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.

Покажем графическую иллюстрацию этого необходимого и достаточного условия параллельности прямых на плоскости (рис.8)

Рис.8

Эти условия можно использовать и в пространстве – главное, чтобы две прямые и секущая лежали в одной плоскости.

Приведем еще несколько теорем, которые часто используются при доказательстве параллельности прямых.

Теорема 2.4. Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.

Существует аналогичная теорема для прямых в пространстве.

Теорема 2.5. Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны (рис.9)

Рис.9