Тема 6. Измерения в геометрии

6.1.Понятие объема

Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.

Объем – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

Равные тела имеют равные объемы

1. Если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей

2. Объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице

6.2. Объемы и поверхности многогранников

6.3. Объемы и поверхности тел вращения

Задача 1. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см³. Чему равно ребро куба?

Решение. Обозначим ребро куба через х,тогда (х + 2)³ – х³ = 98, т.е. х² + 2х – 15 = 0. Уравнение имеет два корня: х = 3. х = -5. Геометрический смысл имеет только положительный короень. Итак, ребро куба равно 3 см.

З адача 1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен , а высота пирамиды равна 4 ( рис.81)

Решение.

.

1) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .

2) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .

Рис.81

3) вычислим объём пирамиды

.

Ответ. 9

Задача 2. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен , а боковые ребра пирамиды равны 6.(рис.81)

Решение.

1) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда .

2) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .

3) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .

4) из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим высоту пирамиды: , .

5) вычислим объём пирамиды

.

Ответ. 18 .

Задача 3. Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной около основания окружности равен , а высота пирамиды равны 1 (рис.82)

Р ешение.

1) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .

2) найдем периметр основания Р = 3·а,

Р = 9.

Рис.82

3) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса

описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда .

4) из прямоугольного треугольника МОР по теореме Пифагора находим апофему МР:

,

МР =

5) вычислим площадь боковой поверхности правильной пирамиды:

, .

Ответ. .

Задача 4. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а апофема пирамиды равна ( рис.52)

Решение. ,

1) найдем радиус описанной около основания и вписанной в основание окружностей: , то есть .

2) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .

3) из прямоугольного треугольника МОР по теореме Пифагора находим высоту: , МО = .

4) вычислим объём правильной пирамиды: = .

Ответ. 18.

Задача 5.

Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен 2, а высота правильной пирамиды равна (рис.53)

Р ешение.

1) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда .

2) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .

3) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .

4) вычислим объём правильной пирамиды: = Ответ. 36.

Рис.86

Задача 6. Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если её ребра равны 5, а радиус окружности, описанной вокруг основания равен 3 (рис.87)

Р ешение.

1) найдем сторону основания по формуле , т.е. .

2) найдем периметр основания: Р = 4а,

Р = 24.

3) из прямоугольного треугольника МDР по теореме Пифагора находим апофему МР: ,DP = Тогда: МР = .

Рис.87

4) вычислим площадь боковой поверхности пирамиды: = .

Ответ. 48.

Задача 7. В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой поверхности равна 16 а площадь основания 4. Найдите высоту пирамиды (рис.88)

Решение.

1) найдем сторону основания: так как в основании пирамиды квадрат с площадью равной 4, то сторона квадрата равна 2, а его периметр 8.

2) по условию = 16 т.е.

.

Рис.88

3) из прямоугольного треугольника МОР по теореме Пифагора находим высоту: , учитывая, что ОР = = 1, получаем: МО = .

Ответ. .

Задача 8.В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 2

а боковое ребро равно 2 . Найдите объём пирамиды (рис.89)

Рис.89

Решение.

1. найдем площадь правильного шестиугольника по формуле или

2. = 12 .

2) из прямоугольного треугольника МОВ найдем высоту МО, учитывая, что в правильном шестиугольнике : .

3) вычисляем объём пирамиды: = .

Ответ: 24.

ЗАДАЧИ

Цель. Учиться решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы; проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

О бъем параллелепипеда, призмы и цилиндра

1. Объем куба 8 м³. Найти его поверхность.

2. Три латунных куба с ребрами 3см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какую длину имеет ребро этого куба?

3. Определить объем куба: 1) по его диагонали l; 2) по его поверхности S

4. Кирпич (25 см х12 см х 6,5 см) весит 3,51 кг. Найти его плотность.

5. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м и 36 м. Найти ребро равновеликого ему куба.

6. Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм, у которого одна из диагоналей равна 17 см, а стороны равны 9см и 10 см. Полная поверхность этого параллелепипеда содержит 334 см².Определить его объем.

7. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 2 2 см и 5 см и образуют угол в 45^о; меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Определить объем этого параллелепипеда.

8. По стороне основания а и боковому ребру в определить объем правильной призмы:

1. треугольной; 2) четырехугольной.

9. Найти объем тела, полученного при вращении квадрата вокруг стороны а.

10. Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 4. Найти объем цилиндра.

11. Боковая поверхность цилиндра равна S, а длина окружности основания C. Найти объем.

12. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Высота цилиндра равна 5, а радиус его основания R удовлетворяет уравнению R² + R– 6 = 0. Найдите объём призмы.

13. . Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и стороной основания призмы равно . Высота цилиндра равна трем его радиусам. Найдите объём призмы.

14. . Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 16 . Найдите объём призмы, если сторона её основания равна

15. Около правильной четырехугольной призмы описан цилиндр, площадь боковой поверхности которого равна 20. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

16. . В правильную четырехугольную призму вписан цилиндр. Объем цилиндра равен 16 , а радиус окружности, описанной вокруг основания призмы, равен . Найдите диагональ призмы.

17. В правильную шестиугольную призму вписан цилиндр. Найдите высоту призмы, если её площадь равна 54 , а радиус цилиндра равен 3.

18. Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Объём цилиндра равен 16 , высота цилиндра равна 4. Найдите объём призмы.

19. Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Объём цилиндра равен 10 . Найдите объём цилиндра, вписанного в эту же призму.

Ответы и указания к задачам

1.24 м² 2. 6 см. 3. 1) l³ ; 2) S 4.1,8 5. 30 м 6. 360 см³7. 60 см^3.

8.1) а²в ; 2) а²в 9. πа³ 10. 4π 11.

ЗАДАЧИ

Цель. Учиться решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы; проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач

Объем пирамиды и конуса

1. По стороне основания а и боковому ребру в определить объем правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной.

2. В правильной четырехугольной пирамиде высота 3 м, боковое ребро 5 м. Найти объем.

3. Апофема правильной треугольной пирамиды равна h. Найти объем.

4. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно в. Найти объем пирамиды.

5. Стороны основания правильной треугольной пирамиды а, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол в 45^о. Определить объем пирамиды.

6. Высота конуса 3, образующая 5. Определить объем.

7. Площадь основания конуса 9 см², полная поверхность его 24 см². Найти объем конуса.

8. В ысота и образующая конуса относятся как 4:5, а объем конуса 96 см³. Найти его полную поверхность.

9. Длина образующей конуса равна l, а длина окружности основания C. Определить объем.

10. Определить объем конуса по данной площади Q основания и боковой поверхности S.

11. Высота конуса равна 15 см, а объем равен 320 см³. Определить полную поверхность.

12. Высота конуса равна 6 см, а боковая поверхность 24 см². Определить объем конуса.

13. Образующая конуса равна l и составляет с плоскостью основания угол в 30^о. определить объем конуса.

14. Радиус шара 1м. Найти объем шара.

15. Во сколько раз увеличится объем шара, если радиус его увеличить в 3 раза? в 4 раза?

16. Радиусы трех шаров 3 см, 4 см и 5 см. Определить радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Ответы к задачам

1.1) а² , ^…2. 32 м³ 3. .h(k²–h²) 4. в³5. а³6. 16π 7. 12πсм³8. 96π

9. 11. 200πсм³12. 24πсм³

13. πl²14. πм³15. В 27 раз, в 64 раза 16. 6 см.

Литература

1. Зив, Б.Г. Геометрия. 10 класс: дидактические материалы [Текст] / Зив Б.Г. - Издательство «Просвещение», 2009. - 159с.

2. Зив, Б.Г. Геометрия. 11 класс: дидактические материалы [Текст] / Зив Б.Г. - Издательство «Просвещение», 2007. - 128с.

3. Погорелов, А.В. Геометрия 10-11класс: учебник Электронный ресурс] / Погорелов А.В. – Издательство «Просвещение», 2009. – 216с.seklib.ru › matematika.html

4. Рабинович, Е.М. Геометрия: задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы [Текст] / Рабинович Е.М. - Издательство «Просвещение», 2006. - 80с.

3