5.2 Конус.

Конусом называется тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга (Р), - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками окружности основания (рис.62)

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса (РМ). Все образующие конуса равны друг другу.

Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности

ОР –ось конуса

О трезок, заключенный между вершиной и основанием — высотой конуса (РО)

Рис. 62

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рисунке изображен конус (рис. 63), полученный вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы АС, а основание — вращением катета ВС.

Рис.63

Сечения конуса

Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а боковые стороны — образующие конуса. Это сечение называется осевым (рис. 64).

Рис. 64

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром О₁, расположенным на оси конуса (рис. 65). Радиус этого круга, можно найти из подобия треугольников AOM и AO₁M₁: .

Рис. 65

Мы будем рассматривать только прямые круговые конусы (называя их просто конусы), хотя бывают и другие. Если ось конуса не перпендикулярна основанию, то такой конус называется наклонным (рис. 66).

Рис. 66.

Площадь боковой  и полной поверхности конуса

Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса (рис. 67).

Рис. 67

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r.

Зная формулу площади боковой поверхности, напишем формулу для нахождения S_полн

Рис. 68

Задача 1

Конус, угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая равна 6 см. Найти: площадь боковой поверхности конуса.

Решение. (рис. 68).

Рассмотрим  - прямоугольный,  , значит,  .

Выразим катет AO в треугольнике APO: 

Подставим числа в формулу:  .

Задача 2. 

В ысота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60°, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол 45°.

Рис.69

Решение.

Так как хорда АВ основания конуса стягивает дугу в 60° , то она равна радиусу основания: АВ = ОА = ОВ (рис. 69). Проведем   и соединим отрезком точки С и М. Тогда   (по теореме о трех перпендикулярах) и угол МСО — линейный угол двугранного угла с ребром АВ. По условию, МСО = 45°.

В задаче спрашивается площадь сечения, то есть площадь треугольника MAB.  .

Найдем сначала OC. Так как треугольник MOC равнобедренный, то OC=OM=10. Тогда гипотенуза  .

Рассмотрим ∆COB – прямоугольный,  .  .

Подставим числа в формулу:  .

Ответ:  .

Задача 3

Конус, в основание которого вписан  , AC = a,  . Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом φ. Найти: Площадь полной поверхности конуса (рис. 70).

Рис. 70

Решение: Чтобы найти площадь поверхности, мы должны знать образующую и радиус основания. По теореме синусов  .

Чтобы найти образующую рассмотрим ∆AOP. По условию, угол  . Тогда длина образующей 

Зная радиус и образующую, подставим их в формулу площади: 

Задача 4

Равнобедренный ∆АВС, боковая сторона равна m, а угол при основании равен φ, вращается вокруг основания. Найти: площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника.

Решение:

Т ело, полученное при вращении равнобедренного треугольника АВС вокруг основания АС, состоит из двух конусов с общим основанием, диаметром которого служит отрезок BB₁ ( рис. 71).

Рис.71

Искомая площадь S равна удвоенной площади боковой поверхности конуса. В данном случае радиус равен OB, а образующая равна АВ = m.

Чтобы найти радиус, рассмотрим ∆AOB – прямоугольный,  .

Подставим все, что нам известно в формулу:

 

Усеченный конус

В озьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси (рис. 72). Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры — высотой усеченного конуса.

Рис. 72

Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу.

У сеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. На рисунке изображен усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции АВСO вокруг стороны СO, перпендикулярной к основаниям АO и ВС (рис. 73). При этом боковая поверхность образуется вращением боковой стороны АВ, а основания усеченного конуса — вращением оснований СВ и OА трапеции.

Рис. 73 Рис.74

Найдем формулу площади боковой поверхности усеченного конуса, зная радиусы r, r₁ оснований и образующую усеченного конуса l ( рис. 74).

Площадь боковой поверхности усеченного конуса, это разность площадей большого конуса и маленького, образованного сечением.

Площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площади боковой поверхности, площади нижнего основания и площади верхнего основания

Задача 1.

Ведро имеет форму усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 15 см и 10 см, а образующая равна 30 см. Сколько килограммов краски нужно взять для того, чтобы покрасить с обеих сторон 100 таких ведер, если на 1 м² требуется 150 гр. краски? (Толщину стенок ведер в расчет не принимать.)

Решение. Найдем сначала площадь одного ведра внешней и внутренней поверхности, поэтому используя полученную формулу площади усеченного конуса, умножаем значение на 2.  . Подставим в формулу все известные величины:

Найдем суммарную поверхность 100 таких ведер:  .

Теперь найдем массу краски в килограммах, необходимую для покраски всех ведер:

.

Ответ: 7,1кг.

ЗАДАЧИ

Цель. Учиться изображать конус, его элементы и сечения, выполнять чертежи по условиям задач; решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов), использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы, использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности.

1. Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найти образующую

2. Образующая конуса L наклонена к плоскости основания под углом 30⁰. Найти высоту.

3. Радиус основания конуса R. Осевым сечением служит прямоугольный треугольник. Найти его площадь.

4. Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найти площадь сечения, проведенного через вершину, если его расстояние от центра основания конуса равно 12.

5. Радиус основания конуса R. Через середину высоты проведена плоскость параллельно основанию. Найти площадь сечения.

6. Высота конуса 6, радиус основания 8. Найти боковую поверхность.

7. Высота конуса 4см, образующая 5 см. Найти полную поверхность

8. По высоте H равностороннего конуса определить его полную поверхность.

9. Р авнобедренный треугольник вращается относительно своей высоты. Определить стороны этого треугольника, если его периметр равен 30 см. а полная поверхность тела вращения равна 60π см².

10. Радиусы оснований усеченного конуса 3 м и 6 м, высота 4 м. Найти образующую.

11. Радиусы оснований усеченного конуса Rиr, образующая наклонена к основанию под углом 45^о. Найти высоту.

12. Радиусы оснований усеченного конуса 11 см и 16 см., образующая 13 см. Найти расстояние от центра меньшего основания до окружности большего.

13. Высота усеченного конуса равна H. Определить образующую, если она наклонена к основанию под углом в 30^о.

Ответы к задачам. 1.5 м. 2. L 3. R² 4. 500. 5. 6. 80π 7. 24π 8. πH² 9. 11 см, 11 см и 8см. 10. 5 м. 11. R – r. 12. 20 см 13. 2H