Практическое занятие № 3

Тема программы: Геометрические характеристики

Тема практического занятия: Определение главных центральных моментов инерции сложного симметричного сечения

Цель занятия: Определить главные центральные моменты инерции сложного симметричного сечения, составленного из профилей стандартного проката

Последовательность решения задачи:

1) провести центральные оси простых сечений у сложного сечения центр тяжести, которой известен;

2) определить необходимые данные для простых сечений:

а) выписать из таблиц ГОСТа для каждого стандартного профиля необходимые справочные данные (J_xi; J_уi), определить центральные моменты инерции полосы;

б) определить расстояния между главной центральной осью сложного сечения и центральными осями простых сечений по формуле: а_i=|у_С-у_i |;

3) определить главные центральные моменты инерции сложного сечения.

Контрольные вопросы для студентов:

1. Какая величина называется статическим моментом сечения?

2. Назовите свойство статического момента сечения относительно центральных осей.

3. Какие величины называются осевыми моментами инерции сечения, какие сечения они характеризуют?

4. Какая величина называется центробежным моментом инерции сечения, какие сечения они характеризуют?

5. Какая величина называется полярным моментом инерции сечений, какие сечения он характеризует?

6. Назовите свойство полярного момента инерции сечения.

7. Какие моменты инерции сечения и оси называются главными?

8. Какие моменты инерции сечения называются главными центральными?

Пример решения пз № 3

Задача. Для плоского симметричного сечения составленного из профилей стандартного проката определить главные центральные моменты инерции (см. ПЗ № 2)

Дано: полоса 12010 (ГОСТ 103-76);

двутавр № 12 (ГОСТ 8239-89); швеллер № 14 (ГОСТ 8240-89);

центр тяжести сечения: С (0; 8).

НАЙТИ: J_x; J_у.

Решение II:

1) Провести центральные оси простых сечений.

2) Выписываем из таблиц ГОСТа и определяем центральные моменты инерции для простых сечений:

Полоса 12010; А₁=12 см²; С₁ (0;0,5);

J_x1=b·h³/12=12·1³/12=1 см⁴; J_у1=b³·h=12³·1/12=144 см⁴.

Двутавр № 12; А₂ =14,7 см ² ; С₂ (0; 7); J_x2=350 см⁴; J_у2=27,9 см⁴.

Швеллер № 14; А₃ =15,6 см ² ; С₃ (0; 14,67); J_x3=45,4 см⁴; J_у3=491 см⁴

3) Определяем расстояния между главной центральной осью сложного сечения и центральными осями простых сечений:

а₁=|у_С-у₁|=8-0,5=7,5 см; а₂=|у_С-у₂|=8-7=1 см;

а₃=|у_С-у₃|=|8-14,67|=6,67 см.

4) Определяем главный центральный момент инерции сложного сечения относительно оси у по формуле:

J_у =∑J_уi =J_у1+J_у2+J_у3=144+27,9+491=662,9 см⁴.

5) Определяем главный центральный момент инерции сложного сечения относительно оси х по формуле:

J_хС=∑(J_хi+а_i²·А_i)=(J_х1+а₁²·А₁)+(J_х2+а₂²·А₂)+(J_х3+а₃²·А₃);

J_хС=(1+7,5²·12)+(350+1²·14,7)+(45,4+6,67²·15,6)=1780,1 см⁴.

Ответ: J_max= J_xС=1780,1 см⁴; J_min= J_у=662,9 см⁴.

Практическое занятие № 4

Тема программы: Изгиб прямого бруса

Тема практического занятия: Определение размеров поперечного сечения консольной балки

Цель занятия: Определить размер поперечного сечения консольной балки, нагруженной сосредоточенной силой и сосредоточенным моментом

Последовательность решения задачи:

1) найти опорные реакции балки (для консоли их можно не находить);

2) балку разделить на участки, границами которых являются сечения, в которых приложены: сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, начинается или заканчивается равномерно распределенная нагрузка;

3) выбрать расположение координатных осей, совместив ось z с осью балки, а оси у и х расположить в плоскости сечения (обычно ось у расположена вертикально);

4) применяя метод сечений, вычислить значения поперечных сил в характерных сечениях и построить эпюру поперечных сил. Если поперечная сила, изменяясь непрерывно, проходит через нулевое значение, то необходимо определить аппликату (z) сечения, где Q обращается в нуль;

5) применяя метод сечений, вычислить значения изгибающих моментов в характерных сечениях и построить эпюру изгибающих моментов.

Для определения экстремальных значений изгибающих моментов дополнительно определить моменты в сечениях, где эпюра поперечных сил проходит через нулевое значение;

6) используя дифференциальные зависимости, проверить правильность построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов;

7) из условия прочности определить осевой момент сопротивления сечения балки в сечении, где изгибающий момент имеет наибольшее по модулю значение;

8) используя таблицы ГОСТов или формулы для определения осевых моментов сопротивления простых плоских сечений (прямоугольник, круг), определить размеры поперечного сечения балки;

Контрольные вопросы для студентов:

1. Какие разновидности связей используют при проектировании балок?

2. Какой изгиб называется чистым?

3. Какой изгиб называется поперечным?

4. Как определить знаки поперечной силы и изгибающего момента?

5. Как изменяется поперечная сила в сечении балки, к которому приложена сосредоточенная сила?

6. Как распределены нормальные напряжения по поперечному сечению балки?

7. Как определить нормальное напряжение в любой точке данного поперечного сечения при прямом изгибе?

8. Какие формы поперечных сечений являются рациональными для балок из пластических материалов?

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ № 4

ЗАДАЧА. Для стальной консольной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов; подобрать из условия прочности необходимый размер двутавра (швеллера), приняв [ ]=160МПа. Данные своего варианта взять из таблицы к ПЗ № 4

а )	б )
Схемы к задаче ПЗ № 4

Таблица ПЗ № 4

М, кН·м	20	-25	30	-10	15	F, кН
q, кН/м	1,2	-6	1,5	1,4	-9
№ варианта и задачи	01	02	03	04	05	40
	06	07	08	09	10	-20
	11	12	13	14	15	18
	16	17	18	19	20	-30
	21	22	23	24	25	2,5
	26	27	28	29	30	-5,0
	31	32	33	34	35	32

Примечание. Профиль сечения балки:

для четных вариантов – двутавр; для нечетных – швеллер.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ПЗ № 4

ЗАДАЧА. Жестко заделанная консольная балка АВ нагружена, как показано на рис. ПЗ №4. Построить эпюры Q_y и M_x, подобрать сечение в форме двутавра.

Дано: F=20 кН; q=21 кН/м; М=28 кН∙м; [σ]=160 МПа.

НАЙТИ: Q_y; М_х; W_х.

Решение:

1. Изобразим балку (см. рис. ПЗ №4, а).

2. Делим балку на участки по характерным точкам: ВС, СD, DA.

3. Определяем Q_y на каждом участке и строим эпюру (см. рис. ПЗ № 4, б):

ВС, сечение I-I, слева, 0≤z₁≤3 м Q_y1=0.

СD, сечение II-II, слева, 0≤z₂≤2 м; Q_y2=F=20 кН.

DA, сечение III-III, слева, 0≤z₃≤2 м, Q_y3=F-q·z₃,

при z₃=0 Q_y3=F=20 кН; при z₃=2 м Q_y3=F-q·2=20-21·2=20-42=-22 кН.

Q_y3=0 при z₃^'=0,95 м.

4. Определяем М_х на каждом участке и строим эпюру (см. рис. ПЗ № 4, в):

ВС, сечение I-I, слева, 0≤z₁≤3 м; М_х1=М=28 кН∙м.

СD, сечение II-II, слева, 0z₂2 м, М_х2=М-Fz₁,

при z₂=0 М_х2=М=28 кН∙м; при z₂=2 м М_х2=М-F·2=28-20·2=-12 кН·м.

DA, сечение III-III, слева, 0z₃2 м, М_х3=М-F(z₂+2)+qz² /2,

при z₂=0 М_х3=28-20·2=-12 кН·м;

при z₂=2 м М_х3=28-20·4+21·2²/2=-10 кН·м;

при z₂=0,95 м М_х3=28-20·2,95+21·0,95² /2=-21,5 кН·м.

Исходя из эпюры М_х.: М_{х max}=28 кН·м=28·10⁶ Н·мм.

5. Определяем осевой момент сопротивления сечения:

W_x ≥М_{х max}/[σ]; W_x≥28000000/160≥175000 мм³≥175 см³.

По ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 20 с W_х=184 см³.

ОТВЕТ: W_х=184 см³ ― двутавр № 20 по ГОСТ 8239-89