Применение метода множителей Лагранжа для решения задач оптимизации

Общий случай задачи оптимизации:

является задачей условной оптимизации. Рассмотрим метод множителей Лагранжа, первый этап которого заключается в преобразовании задачи условной оптимизации в задачу безусловной оптимизации в соответствии со следующим алгоритмом.

. Преобразовать ограничения-неравенства в уравнения:

g(x_j) = r(x_j) - b,= 1, 2.

экономический модель система оптимизация

1. Записать ограничения в виде

g(x_j) = 0,

j = 1, 2.

Аналогично преобразовать граничные условия.

Тогда задача оптимизации будет иметь вид:

В результате получили задачу на условный экстремум.

Перед тем как перейти ко второму этапу, напомним, что функция Лагранжа L(x1,x2, λ) представляет собой сумму целевой функции (1.1) и функции ограничения (1.2), умноженной на новую независимую переменную λ, называемую множителем Лагранжа, входящую (обязательно) в первой степени:

(1.1)

при условии

g(x₁,x₂) = 0 (1.2)

Второй этап метода Лагранжа состоит:

А) в построении функции вида L(x₁,x₂, λ) = f(x₁,x₂)+ λg(x₁,x₂) от трёх переменных x₁,x₂, λ, называемой функцией Лагранжа;

Б) в сведении задачи на условный экстремум (1.1), (1.2) в случае двух независимых переменных к задаче на абсолютный экстремум функции L(x₁,x₂, λ).

Необходимое условие локального условного экстремума функции:

пусть функции f(x₁,x₂), g(x₁,x₂) непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по переменным x₁ и x₂;

пусть (x⁰₁,x⁰₂) - точка условного локального экстремума функции (1.1) при наличии ограничения (1.2) и пусть grad g(x⁰₁,x⁰₂) = 0. Тогда существует единственное число λ⁰ такое, что трехмерная точка (x⁰₁,x⁰₂,λ⁰) удовлетворяет следующей системе трех уравнений с тремя неизвестными x₁,x₂, λ:

Всегда g(x₁,x₂).

Таким образом, если двумерная точка (x⁰₁,x⁰₂) есть точка локального экстремума, то трехмерная точка (x⁰₁,x⁰₂,λ⁰) является критической точкой функции Лагранжа.

Алгоритм нахождения точек условного локального экстремума функции (1.1) при наличии ограничения (1.2):

а) найти критические точки функции Лагранжа, т.е. найти все решения системы уравнений (1.3);

б) в критических точках функции Лагранжа следует удалить коэффициенты;

в) каждую полученную точку проанализировать, является ли она в действительности точкой (условного) локального экстремума функции (1.1) при наличии ограничения (1.2) или не является. При этом используют геометрические или содержательные экономические соображения.

В некоторых новых задачах на условный экстремум, появляющийся в экономике, обычно критическая точка функции Лагранжа действительно является точкой условного локального (и глобального) экстремума функции (1.1)

Пример. Найти экстремум функции у = x²₁ + x²₂ при условии, что x₁ + x₂ = 1. Получили задачу на условный экстремум.

Р е ш е н и е. Запишем ограничение x₁ + x₂ = 1в виде x₁ + x₂ - 1 = 0.

Имеем

L(x₁,x₂, λ) = x²₁ + x²₂ + λ (x₁ + x₂ - 1).

откуда следует, что

(1.4)

Из первых двух уравнений получаем, что х₁ = х₂. Используя третье уравнение, получаем, что x⁰₁ = x⁰₂ = ½. Таким образом, система уравнений (1.4) имеет единственное решение, т.е. получаем единственную критическую точку функции Лагранжа (1/2, ½, -1)(λ⁰ = -2х⁰₁ = -2∙1/2=-1). Критическая точка (x⁰₁ , x⁰₂ ) = (1/2; ½) есть точка условного локального (а также и глобального) минимума заданной функции при её заданном ограничении.

Если задана общая задача (1.5) с ограничениями (1.6) на определение условного экстремума:

f(x₁, …, x_n)→max(f(x₁, …, x_n)→min) (1.5)

при условиях

g₁(x₁, …, x_n) = 0,

… (4.18)

g_N(x₂, …, x_n) = 0

(обычно m‹n), то функция Лагранжа имеет вид:

L(x₁, …, x_n, λ₁, …, λ_n) = f(x₁, …, x_n)+ λ₁g₁(x₁, …, x_n)+ … + λ_ng_n(x₁, …, x_n).

При этом система (1.4) переписывается в виде системы уравнений с n + m неизвестными х₁, …, х_n, λ₁, …, λ_n.

Критическая (n + m)-мерная точка (x⁰₁, …, x⁰_n, λ⁰₁, …, λ⁰_n) функция Лагранжа приобретает вид (x⁰₁, …, x⁰_n) n-мерной точки.

Если использовать понятие градиента, то условия локальности экстремума для функции f(x₁, x₂) можно представить в компактной векторной форме:

grad f(x₁,x₂) + λ grad g(x₁,x₂) = 0.

Для критической точки (x⁰₁,x⁰₂,λ⁰) функции Лагранжа имеем:

grad f (x⁰₁,x⁰₂) = - λ⁰ grad (x⁰₁,x⁰₂),

что эквивалентно тому, что в точке (x⁰₁,x⁰₂) линии уровней функции f(x₁,x₂) и g(x₁,x₂) соответственно касаются (grad(x⁰₁,х) = 0).

Необходимое условие локального условного экстремума функции (1.1) при наличии ограничения (1.2) в геометрической форме:

пусть функции f(x₁,x₂), g(x₁,x₂) непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по переменным х₁ и х₂;

пусть (x⁰₁,x⁰₂) - точка условного локального экстремума функции (1.1) при наличии ограничения (1.2);

пусть grad f(x⁰₁, x⁰₂) = 0 и grad g(x⁰₁, x⁰₂) = 0.

Тогда grad f(x⁰₁, x⁰₂) и grad g(x⁰₁, x⁰₂), выходящие из точки (x⁰₁, x⁰₂), обязательно расположены на одной прямой с противоположными направлениями, что эквивалентно тому, что линии уровней функций f(x₁, x₂) и g(x₁, x₂), содержащие точку (x⁰₁, x⁰₂), касаются в этой точке (рис. 4.4, а), являющейся точкой условного локального максимума.

Фрагмент карты линий уровня целевой функции f(x₁, x₂) типичен для экономической теории. Однако необходимое условие (в том числе и геометрическое) локального экстремума функции (1.1) при наличии ограничения (1.2), вообще говоря, не является достаточным, т.е. в случае касания в точке (x⁰₁, x⁰₂) линий уровня функций f(x₁, x₂) и g(x₁, x₂) (это эквивалентно расположению на одной прямой градиента grad f(x⁰₁, x⁰₂) и grad g(x⁰₁, x⁰₂), исходящих из точки (x⁰₁, x⁰₂)), точка (x⁰₁, x⁰₂) может и не являться точкой условного локального экстремума функции (1.1) при наличии ограничения (1.2). Иллюстрацией этому может служить точка (x⁰₁, x⁰₂) на рис. 4.4, б - критическая точка функции Лагранжа, которая не является точкой локального экстремума функции (1.1).