Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума
Теорема.
Пусть точка
является точкой условного экстремума
функции
при выполнении уравнений связи . Тогда
существуют такие числа
,
что в точке
выполняются условия
(1)
Следствие. Положим
(2)
где
- числа, указанные в теореме. Функция
(2) называется функцией Лагранжа. Если
точка
является
точкой условного экстремума для функции
,
то она является стационарной точкой
для функции Лагранжа, т.е. в этой точке
(3)
Доказательство
теоремы.
Пусть
- точка условного экстремума для функции
и
пусть в этой точке для определенности
выполняется условие (4). Тогда точка
является
точкой обычного экстремума для функции
,
поэтому в точке
или
,
откуда,
пользуясь инвариантностью формы первого
дифференциала, для точки
имеем
(5)
Подставляя (7) в (8) и дифференцируя получившееся тождество в некоторой окрестности точки , а значит, и в самой точке , получим
(6)
В
формуле (6), также как и в формуле (5),
дифференциалы
есть
дифференциалы независимых переменных,
а дифференциалы
есть
дифференциалы функций
.
Каковы
бы не были числа
,
умножая равенство (6) в точке
для
функции
на
,
и складывая их между собой и с равенством
(5), получим
(9)
Выбрав так, чтобы в точке выполнялись равенства
(10)
Это
всегда возможно, так как (10) является
системой
линейных
относительно
уравнений
с определителем
не
равным нулю.
При таком выборе имеем
(11)
Здесь
уже все дифференциалы
есть дифференциалы независимых переменных
и, значит, сами являются независимыми
переменными, которые могут принимать
любые значения. Беря
,
а все остальные дифференциалы, входящие
в формулу (16), равными нулю, получим
(12)
Тем самым мы доказали существование таких , что выполняются условия (10) и (12), т.е. условия (1).
Теорема доказана.
Алгоритм нахождения экстремума функции методом множителей Лагранжа
Пусть требуется найти экстремум функции n переменных f(x1,x2,…,xn) при условии, что переменные x1,x2,…,xn связаны соотношениями (ограничениями)
среди которых количество m ограничений-равенств меньше числа n переменных, а количество и r ограничений-неравенств может быть произвольным.
Для нахождения значений {x1,x2,…,xn}=Х, необходимо доставляющих экстремумы функции f(X), можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа:
Ограничения-неравенства g(X)0 приводятся к виду (Х)0, где (Х) = - g(X).
Полученные ограничения-неравенства
в свою очередь приводятся к ограничениям-равенствам путем введения +r дополнительных переменных
В результате задача поиска условного экстремума примет канонический вид:
в котором соотношение m++r<n++r указывает на возможность получения множества допустимых решений, а значит, и нахождения среди них тех, которые доставляют экстремум f(X).
Составляется функция Лагранжа:
Ф(x1,…,xn,1,…,m++r) = f(x1,x2,…,xn)+1q1+2q2+…+m++rqm++r,
вкоторой дополнительные переменные {1,…,m++r}= называются неопределенными множителями Лагранжа.
Для составленной функции Лагранжа можно ставить задачу нахождения безусловного экстремума
Ф(Х,) extr,
результат решения которой будет совпадать с искомым решением исходной задачи нахождения условного экстремума.
Для функции Ф(Х,) составляются необходимые условия существования экстремума:
Ф(Х,)=0
Или
Полученную систему уравнений Ф(Х,)=0 решают, и в результате решения находят значения
,
удовлетворяющие необходимым условиям существования экстремума.
Для решения вопроса о том, существует ли в найденных точках
максимумы
или минимумы следует воспользоваться
достаточными условиями существования
экстремумов, которые для гладких функций
Ф()
формулируются следующим образом:
если
в некоторой точке
матрица вторых производных
положительно определена, то в анализируемой
точке лежит минимум функции f(Х);
если отрицательно определена максимум.
Если Ф(Х,) негладкая, то можно использовать достаточные условия вида, например, для максимума:
Ф(Х,*) Ф(Х*,*) = Ф(Х*,),
однако проверка этих условий при большом числе переменных трудоемко, и при решении практических задач вопрос о наличии минимума или максимума решается на основании дополнительных соображений, вытекающих из содержания задачи.