Пример 4

Определить размеры поперечного сечения двутавровой балки (см. рис. 8, а), если [σ] = 160 МПа. Найти величину и направление максимального прогиба балки.

Решение. Раскладываем силу F и интенсивность равномерно распределенной нагрузки q на главные центральные оси инерции поперечного сечения y и z.

F_y = Fcosα ;

F_z = Fsinα ;

q_y = qcosα ;

q_z = qsinα ;

Расчетная схема балки на изгиб в вертикальной плоскости хоу представлена на рис. 8, б. Эпюра изгибающих моментов М_ƶ представлена на рис. 8, в.

Расчетная схема балки на изгиб в горизонтальной плоскости хоz представлена на рис. 8, г. Эпюра изгибающих моментов М_у представлена на рис. 8, д.

Опасным является сечение, находящееся под силой F.

Условие прочности имеет вид

≤ [σ]. (56)

В этом уравнении два неизвестных W_y и W_ƶ. Поэтому для подбора сечения необходимо задаться соотношением . Для двутавровых балок обычно принимают .

Тогда

σ_max ≤ [σ]. (57)

Рис. 8. Косой изгиб. Определение поперечного сечения балки

и величины максимального прогиба.

Откуда

По сортаменту подходит двутавр №27, имеющий W_ƶ = 371 см³ и W_y = 41,5 см³.

Проверка прочности балки:

σ_max > 160 МПа.

Условие прочности не выполняется, следовательно, выбираем балку №27а, W_ƶ = 407 см³ и W_y = 50 см³.

Снова сделаем проверку

σ_max ‹ 160 МПа.

Условие прочности выполняется

Максимальный прогиб будет по середине балки. Прогиб определяем любым методом.

Прогиб в плоскости ХОY.

Прогиб в плоскости ХОZ.

Максимальный результирующий прогиб

Он направлен под углом β к оси у (см. рис. 8, е)

tgβ = = ; β = 84°.

3. Переменные напряжения

3.1. Основные понятия об усталостном разрушении

При эксплуатации инженерных сооружений и машин во многих элементах при определенных условиях нагружения возникают напряжения, которые периодически меняются во времени между некоторыми определенными значениями. Такие напряжения называются переменными или циклическими напряжениями. Процесс образования, и развития трещин в материале от действия переменных напряжений называется усталостным разрушением. Сопротивляемость материала переменным напряжением называется выносливостью материала. Наибольшее периодически изменяющееся напряжение, которому ма­териал противостоит неограниченное время, называется пределом выносливости материала.

Изменение величин напряжений в деталях машин и сооружений может происходить или вследствие изменения величин нагрузки (напряжение в стенке цилиндра двигателя внутреннего сгорания вследствие изменения давления газовой смеси), или вследствие изменения положения детали при действии постоянной нагрузки (ось вагона).

Характер изменения напряжения в детали машины или сооружения может быть неустановившимся и установившимся. Из различных видов установившихся переменных напряжений наибольшее значение имеют циклические напряжения.

Изменение напряжений за один период называется циклом напряжений. Циклом изменения напряжения называется однократная смена напряжения (от наибольшего к наименьшему и обратно); если такой цикл во время работы детали непрерывно повторяется, то напряжения в ней называются циклическими. Действию циклических напряжений подвергаются оси вагонов, валы, шатуны, лопатки, турбин и т.д.

Различным законам изменения напряжений соответствуют различные виды циклов. Закон изменения напряжений во времени может быть выражен кривой, построенной в системе прямоугольных координатных осей: время (t) и напряжение σ или (τ) (Рис. 9).

Рис. 9. Закон изменения напряжений во времени

Наибольшее (в алгебраическом смысле) напряжение цикла называется максимальным и обозначается σ_max (или τ_max , если рассматриваются изменения касательных напряжений), а наименьшее – минимальным σ_min (или τ_min ).

Основными параметрами цикла напряжений являются:

– минимальные и максимальные напряжения σ_min и σ_max;

– амплитуда цикла σ_a:

; (58)

– среднее напряжение цикла σ_m:

. (59)

Среднее напряжение цикла σ_m может быть как положительным, так и отрицательным. Амплитуда цикла σ_a всегда положительна. Максимальные и минимальные напряжения можно выразить через среднее напряжение и амплитуда цикла:

σ_max = σ_m + σ_a ; σ_min= σ_m – σ_a . (60)

Отношение минимального напряжения σmin к максимальному σmax

называется коэффициентом асимметрии цикла

. (61)

В зависимости от соотношения σmin и σmax циклы носят разные названия.

При симметричном цикле σmax = - σmin; σm = 0; r = – 1 (см. рис. 10).

Рис. 10. Симметричный цикл

При знакопостоянном положительном асимметрическом цикле (см. рис. 11)

σmax > 0; σmin > 0; σm > 0; 0 < r < 1

Рис. 11. Знакопостоянный положительный асимметрический цикл

При знакопеременном асимметрическом цикле (см. рис. 12)

σmax > 0; σmin < 0; –1 < r < 0

Рис. 12. Знакопеременный асимметрический цикл

При положительном отнулевом (пульсирующем) цикле (см. рис. 13)

σmax > 0; σmin = 0; σm = σ_а = σmax; r = 0

Рис. 13. Положительный отнулевой (пульсирующий) цикл

Циклы называют подобными, если они имеют одинаковый коэффициент асимметрии r.