2.2. Косой изгиб

Косым изгибом бруса называется изгиб, при котором плоскость действия внешних сил, перпендикулярных оси балки, не совпада­ет ни с одной из главных центральных осей инерции сечения (см. рис. 6).

При проектировании конструкций, элементы которых работают на косой изгиб, нужно учитывать как минимум две опасные особенности косого изгиба:

1. Максимальные напряжения при косом изгибе – больше, чем при плоском поперечном изгибе.

2. Плоскость прогиба не совпадает с силовой плоскостью, а отклоняется от неё в сторону плоскости наименьшей жёсткости.

Многие виды сечений (за исключением сечений, у которых все оси — главные центральные) могут оказаться в условиях косого изгиба из-за неточностей изготовления или сборки, монтажа, а для некоторых типов сечений, экономичных, хорошо работающих на плоский поперечный изгиб (например, двутавр), небольшое отклонение силовой плоскости от главной плоскости инерции (на несколько градусов) приводит к существенному увеличению максимальных напряжений (в несколько раз).

Следует отметить, что наибольшая и наименьшая величины прогибов возникают при плоском поперечном изгибе (соответственно, в плоскостях наименьшей и наибольшей жёсткости). В этом можно убедиться, приравняв к нулю первую производную от полного прогиба по углу α, и определив для найденных точек экстремума знак второй производной.

На рис. 6, а дана иллюстрация косого изгиба. Брус прямоугольного поперечного сечения, жестко заделанный левым концом, изгибается под действием силы F, расположенной в плоскости Р-Р под углом α к вертикальной плоскости хоу. Разложив внешнюю силу на составляющие F_у и F_z, можем рассматривать косой изгиб как совокупность двух прямых изгибов, происходящих во взаимоперпендикулярных плоскостях хоу и xoz:

F_у = F∙cosα ; F_z = F∙sinα. (3 2)

Рис. 6. Косой изгиб

Рассмотрим сначала действие только одной составляющей F_у. Эта сила изгибает балку в плоскости главной оси инерции у, а нейтральной осью будет ось z (см. рис. 6, б). На сторонах АВ и СD поперечного сечения АВСD поставлены знаки напряжений: знак плюс соответствует растягивающему напряжению, а знак минус – сжимающему.

Продольные нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения бруса при косом изгибе определяют на основе закона независимости действия сил по формуле:

(33)

где у, z — координаты (в главных центральных осях) точки, в которой определяются напряжения;

М_z и М_y– изгибающие моменты относительно главных центральных осей (z и y) поперечного сечения, в наиболее опасном сечении (у заделки)

М_z = F_у ∙l = F∙l ∙cosα ; (34)

М_y = F_z ∙l = F∙l ∙sinα ; (35)

, — моменты инерции относительно главных центральных осей у, z.

В точке К рассматриваемого сечения (см. рис.6, а, б, в) напряжения от действия сил F_у и F_z будут положительные, поэтому в формуле (33) перед обоими членами правой части нужно принять знак плюс. Установим зависимость между силовой линией р-р, нулевой линией N – N и линией изгиба I – I (см. рис.6, г).

Допустим, что нулевая линия N – N займет положение, указанное на чертеже, т.е. повернется по часовой стрелке относительно оси z на некоторый угол β. Уравнение нулевой линии получим, приняв в формуле (33) σ = 0, т.е.

. (36)

Перед первым членом правой части уравнения (36) поставлен знак минус, потому что напряжение σ в точке n на нулевой линии с координатами у₀ и z₀ от действия только изгибающего момента М_z будет сжимающее (см. рис. 6, б и г). Подставляя в уравнение (36) значения М_z и М_y из выражений (34) и (35), получим

(37)

Так как F∙l ≠ 0, то выражение в скобках должно быть равно нулю:

. (38)

Это и есть уравнение нулевой линии N – N. Определим из него y₀:

(39)

или

, (40)

где угловой коэффициент .

Из уравнения (40) следует

или , (41)

где

(см. рис. 6, г). (42)

Положительный результат в правой части формулы (42) означает, что отсчет угла β по часовой стрелке от оси z принят правильный, если угол α также отсчитывать по часовой стрелке от оси y (см. рис. 6, г).

Опасными являются точки наиболее удалённые от нейтральной оси в силу линейного характера распределения перемещений (работает гипотеза плоских сечений - гипотеза Бернулли), деформаций, напряжений.

Нейтральная ось N – N (нулевая линия) — геометрическое место точек, в которых продольные нормальные напряжения равны нулю.

Расчет на прочность ведется по напряжению в опасной точке опасного сечения. Опасным является сечение, где изгибающие моменты максимальны. Опасной точкой является наиболее удаленная от нейтральной линии точка.

В опасных точках возникает линейное напряжённое состояние. Следовательно, условие прочности по допускаемым напряжениям запишется в виде σ_max ≤ [σ]:

σ_max = ≤ [σ], (43)

где у_max, z_max — координаты опасных (наиболее удалённых от нейтральной оси) точек.

Для сечений, имеющих две оси симметрии (например, прямоугольник, двутавр):

σ_max = ≤ [σ], (44)

где , — осевые моменты сопротивления в главных плоскостях инерции.

При известной величине угла α между главной плоскостью инерции и силовой плоскостью, формулу (44) можно переписать в виде:

σ_max = (45)

Взяв производную от выражения (45) по α и приравняв её к нулю, получим величину угла, при котором напряжения в балке будут максимальными:

. (46)

Для прямоугольного сечения:

. (47)