Пример 1

Для консольной балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q (см. рис. 1, а), определить на конце консоли в точке В прогиб ∆_1p = y_В и угол поворота ∆_2p = φ_В , учитывая лишь деформации, вызванные изгибающими моментами.

Решение.

Выражение изгибающего момента M_р от действующей на балку нагрузки q в произвольном сечении х имеет вид

M_р = . (4)

Эпюра изгибающих моментов M_р от действующей на балку нагрузки q представлена на рис. 1, б.

Для определения прогиба ∆_1p = y_В в точке В прикладываем единичную силу F = 1 (Рис.1, в) и записываем выражение изгибающего момента от единичной силы

. (5)

Подставляя выражения для изгибающих моментов (4), (5) в формулу (2), получим искомый прогиб y_В :

. (6)

Для определения угла поворота ∆_2p = φ_В в точке В прикладываем единичный момент М₂ = 1 (Рис.1, г) и записываем выражение изгибающего момента от этого момента

. (7)

Подставляя выражения для изгибающих моментов (4), (6) в формулу (2), получим угол поворота φ_В :

. (8)

Полученный для ∆_2p = φ_В знак минус говорит о том, что фактический угол поворота φ_В будет противоположен моменту , т. е. направлен по часовой стрелке.

Рис. 1. Определение на конце консоли в точке В прогиба y_В и угла поворота φ_В с использованием формулы Максвелла – Мора и способа Верещагина.

Приведенный пример позволяет сформулировать правило знаков при использовании формулы Максвелла – Мора: направление единичного воздействия F_n = 1 (или М_n = 1) выбирается произвольно. Полученный по формуле (1) знак указывает на то, что искомое перемещение либо совпадает (если получен знак плюс), либо противоположно (минус) принятому направлению F_n = 1 (или М_n = 1).

В этом же примере используем формулу Верещагина. Площадь криволинейной эпюры M_р (см. табл. 1) ω = , ордината эпюры под центром тяжести ω (см. рис.1, в) равна , тогда прогиб на конце консоли в точке В равен

. (9)

Для определения угла поворота находим ординату эпюры под центром тяжести ω (см. рис.1, г): у_с = 1, тогда угол поворота сечения на конце консоли в точке В равен

φ_В = (10)

Рассмотри правило А.Н. Верещагина на примере 2.