Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Российский государственный профессионально-педагогический университет»

Машиностроительный институт

Кафедра механики

Методические указания

к выполнению самостоятельной работы

по дисциплине

«СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»

для студентов всех форм обучения

направления подготовки 051000.62 Профессиональное обучение (по отраслям)

профиля «Машиностроение и материалообработка»;

профиля «Транспорт»

Екатеринбург

РГППУ

2014

Методические указания к выполнению самостоятельной работы по дисциплине «Сопротивление материалов» ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет». Екатеринбург, 2014. 45 с.

Составители: доц., канд. техн. наук З.А. Наседкина,

доц., канд. техн. наук А.В. Песков

Одобрены на заседании кафедры механики Машиностроительного института.

Протокол от « 10 » апреля 2014г., № 8

Заведующий кафедрой О.С.Лехов

Рекомендованы к печати методической комиссией Машиностроительного

института РГППУ.

Протокол от « 16 » апреля 2014 г., № 9

Председатель методической

комиссии МаИ РГППУ ­­­­­­­­­ Н. Н. Ульяшина

©ФГАОУ ВПО «Российский

государственный

профессионально-

педагогический

университет», 2014

© Наседкина З.А., Песков А.В., 2014

Методические указания предназначены в помощь студентам машиностроительных специальностей при их самостоятельной работе над типовыми расчетами. В данной работе изложены методические указания по выполнению расчетно-графических работ для студентов по разделам: перемещения при изгибе, сложное сопротивление (изгиб с кручением, косой изгиб) и переменные напряжения. Приводятся примеры решения типовых задач.

1. Определение перемещений по методу максвелла – мора

Метод Максвелла – Мора позволяет определять линейные и угловые переме­щения в статически определимых и статически неопределимых упругих системах в конкретных точках конструкции по фиксированным направлениям. Этот метод основан на принципе возможных перемещений [1]. Для плоской стержневой конструкции в случае упругих деформаций формула Максвелла – Мора имеет вид

, (1)

где ∆_np - искомое перемещение (линейное y или угловое φ) по направлению n – n от действия заданной нагрузки Р, здесь первый индекс n обозначает номер искомого переме­щения (n = 1, 2, 3, ……), второй индекс р указывает причину, вызывающую перемещение;

N_p , M_р , Q_p – выражения внутренних усилий (продольной силы, изгибающего момента, поперечной силы соответственно) как функций координаты x от заданной нагрузки Р в произвольном попереч­ном cечении;

, , – выражения внутренних усилий (продольной силы, изгибающего момента, поперечной силы соответственно) как функций координаты x в произвольном попереч­ном сечении от условной безразмерной единичной нагрузки F_n = 1 (или М_n = 1), приложенной в сечении по направлению n – n, где отыскивается перемещение y (или угол поворота φ).

ЕА – жесткость сечения бруса при растяжении или сжатии;

Е I – жесткость сечения бруса при изгибе;

GA – жесткость сечения бруса при сдвиге;

r – количество участков упругой системы;

i – номер участка упругой системы, i = 1, 2, 3, …..r;

l _i – длина i – го участка упругой системы;

– коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений в сечении при изгибе; dx – элемент длины бруса.

Если определяется линейное перемещение, то единичная наг­рузка представляет собой сосредоточенную силу, если определяется угол поворота сечения, то единичная нагрузка представ­ляет собой сосредоточенный момент.

В формуле Максвелла – Мора каждый интеграл выражает вклад соответствующей деформации в искомое перемещение. Обычно учитывают только основные виды деформаций. В изгибаемых конструкциях учитывают влияние изгибающих моментов, а поперечными силами пренебрегают.

При изгибе прямого бруса интеграл Максвелла – Мора записывается в виде

, (2)

Таким образом, определение перемещений сводится к построению эпюр изгибающих моментов от заданных нагрузок Р, эпюр изгибающих моментов от единичных нагрузок F_n = 1 (или М_n = 1) и вычислению интегралов в формуле (2), называемых интегралами Мора. Вычисление интегралов условно называется «перемножением эпюр».

Для прямолинейных элементов бруса интеграл Мора можно вы­числить по способу Верещагина А.Н.. по формуле

, (3)

где ω – площадь нелинейной эпюры изгибающих моментов;

у_с – ордината линейной эпюры изгибающих моментов под центром тяжести площади ω.

Очень важно отметить, что ордината у_с должна быть взята обязательно из прямолинейной эпюры. Поэтому эпюры изгибающих моментов должны быть разбиты на такие участки, в пределах каждого из которых хотя бы одна из эпюр линейна и жесткость сечения бруса постоянна. При перемножении эпюр ставим знак минус, если эпюры по разные стороны от оси отсчёта. В табл.1 приведены виды эпюр изгибающих моментов, а также соответствующие им величины площади ω и координаты их центров тяжести х_цт.

Таблица 1

Площади эпюр и положение их центров тяжести

Вид эпюры	Площадь ω	Расстояние до центра тяжести
		хцт	l – хцт
1	2	3	4
1. Треугольник (прямоугольный)
2. Треугольник
3. Трапеция
Окончание табл.1
1	2	3	4
4. Парабола (квадратная) с вершиной в точке В
5. Парабола (квадратная) с вершиной в точке В
6. Парабола (квадратная) с вершиной в точке В

Рассмотрим примеры использования формулы Максвелла – Мора.