1. Какие сигналы называются аналоговыми, дискретными и цифровыми.

2. Сформулируйте теорему Котельникова. Что такое частота Найквиста.

3. Что представляет собой импульсная характеристика фильтра.

4. Какае фильтры называется нерекурсивным или рекурсивным. Их передаточные функции.

5. КИХ и БИХ фильтров.

6. Понятие устойчивости фильтров.

7. Что представляет собой импульсная переходная характеристика НЧ фильтра с единичной амплитудной характеристикой.

8. Как зависят свойства амплитудно-частотной характеристики ФНЧ от количества отсчетов N, или длины импульсно-переходной характеристики.

9. Для чего вводят весовые функций – «окна» и какие «окна» вы знаете.

Тема 3. Построение и моделирование цифровых рекурсивных филитров

3.1. Краткие теоретические сведения о цифровых фильтрах. Синтез рекурсивных фильтров

Представим передаточную функцию фильтра в виде:

(3.1)

При , передаточная функция примет вид:

(3.2)

Введем в рассмотрение выражение:

, где - целое (3.3)

Отсюда:

(3.4)

и

(3.5)

Тогда:

(3.6)

следовательно

(3.7)

Учитывая то, что и , в полученном рекуррентном выражении (3.7) является действительным полиномом от .

Аналогично введем в рассмотрение выражение:

(3.8)

Тогда:

(3.9)

(3.10)

Следовательно:

(3.11)

Так как, является действительным полиномом от , то будет иметь вид этого полинома умноженного на .

С учетом последних результатов рассмотрим выражение (3.2). Действительные части числителя и знаменателя являются суммами косинусов углов, кратных , и, следовательно, могут быть представлены в виде полиномов от . Мнимые части равны суммам синусов углов, кратных , и поэтому они будут иметь одинаковый коэффициент , который умножается на полиномы от .

Тогда (3.2) запишем в следующем виде:

(3.12)

Квадрат АЧХ имеет вид:

=

= (3.13)

С учетом того, что:

(3.14)

получим:

(3.15)

где и являются действительными постоянными коэффициентами.

Обычно, выражение (3.15) записывают в следующем виде:

(3.16)

где - действительная константа, - действительная рациональная функция от .

Полиномиальные цифровые фильтры нч

Под полиномиальными фильтрами понимаются фильтры, для которых функция определяется в виде:

, (3.17)

где - аргумент характеристики ФНЧ, - действительные постоянные коэффициенты.

Сформулируем основные свойства квадрата АЧХ . Очевидно, что функция , определяемая выражением (3.16) периодична по с периодом . Поэтому можно ограничиться рассмотрением только одного периода, например главной полосы , для которой справедливо отметить следующее.

В полосе не пропускания квадрат АЧХ монотонно уменьшается, начиная с некоторой частоты , и равен нулю на частоте .

В полосе пропускания свойства функции определяются типом выбранного ФНЧ: - фильтр Баттерворта, фильтр Чебышева и т.п.

Синтез цифровых фильтров нч Баттерворта Для фильтра Баттерворта справедливо записать:

(3.18)

где - действительный постоянный коэффициент. Отметим, что эта функция монотонна как в полосе пропускания, так и в полосе не пропускания.

Подставим это выражение в (3.16), при получим квадрат АЧХ фильтра:

(3.19)

Пусть

(3.20)

тогда:

(3.21)

Значение коэффициента , определяемое выражением (3.20), дает ослабление АЧХ на частоте среза в 3 дб.

АЧХ фильтра НЧ описывается выражением:

(3.22)

график которого при частоте среза Гц и порядке фильтра имеет вид

Рис.3.1.

Порядок фильтра существенно влияет на наклон АЧХ фильтра на переходных частотах. Чем больше , тем круче АЧХ на переходных частотах. АЧХ должна стремиться к прямоугольному виду с частотой среза .

Погрешность АЧХ будем оценивать выражением:

(3.23)

Для того чтобы синтезировать фильтр НЧ Баттерворта, введем вспомогательную переменную:

(3.24)

где . Так как соответствует окружности , то вспомогательная переменная при условии, что лежит на этой единичной окружности, принимает вид:

(3.25)

или

, (3.26)

На плоскости полюсы функции (3.24) будут совпадать с корнями уравнения:

(3.27)

где . Следовательно:

(3.28)

Для четных справедливо записать:

, (3.29)

для нечетных:

, (3.30)

На плоскости для четных :

(3.31)

, (3.32)

Для нечетных :

(3.33)

, (3.34)

Параметрические уравнения (3.31, 3.32) и (3.33, 3.34) описывают окружность на плоскости радиусом с центром в начале координат. Преобразуем эту окружность в плоскости в кривую на плоскости с помощью преобразования (3.34). Введем в рассмотрение:

(3.35)

с учетом того, что , запишем:

(3.36)

Следовательно:

(3.37)

(3.38)

Для отображаемой окружности:

(3.39)

Тогда справедливо записать:

(3.40)

(3.41)

откуда соотношение между и принимает следующий вид:

(3.42)

Это уравнение описывает на плоскости окружность радиуса:

(3.43)

с центром , имеющим координаты:

(3.44)

Так как , радиус окружности и координаты ее центра будут равны:

, (3.45)

На основе выражений (3.40, 3.41), (3.42, 3.43) и (3.44, 3.45) можно определить искомое расположение полюсов ФНЧ Баттерворта.

Для четных :

_, (3.46)

_. (3.47)

.

Для нечетных :

_, (3.48)

_. (3.49)

.

В лабораторной работе №6 рассмотрим порядок синтеза низкочастотного фильтра Баттерворта.