Динамические характеристики цифровых фильтров: передаточная функция, частотная передаточная функция, импульсная переходная функция, связь между ними с помощью преобразования Фурье
Передаточной
функцией
называют отношение
-образов
выходного
и входного
сигналов фильтра при нулевых начальных
условиях:
.
Передаточные функции являются основным
аппаратом при рассмотрении соединений
и различных форм реализации фильтров.
Комплексная
частотная характеристика
представляет собой функцию, полученную
в результате подстановки
в передаточную функцию.
Импульсная
характеристика
фильтра
представляет собой реакцию фильтра при
нулевых начальных условиях на входное
воздействие:
(2.2)
и
связаны между собой преобразованием
Фурье:
(2.3)
Понятие рекурсивных и нерекурсивных цифровых фильтров, ких и бих фильтров
Цифровые фильтры принято делить на два класса: Нерекурсивные (НФ) и рекурсивные (РФ).
Линейное разностное уравнение вида:
,
(2.4)
полностью описывает работу линейного рекурсивного цифрового фильтра.
Передаточная функция, соответствующая этому уравнению, задается выражением:
.
(2.5)
Если все коэффициенты
в линейно-разностном уравнении (2.4)
,
то фильтр, реализующий этот алгоритм,
называется нерекурсивным.
Алгоритм работы такого фильтра перепишется в виде:
(2.6)
Передаточная функция для такого фильтра имеет вид:
(2.7)
А комплексная частотная характеристика для нерекурсивного фильтра запишется в виде:
(2.8)
Если хотя бы один
из коэффициентов линейно-разностного
уравнения (2.4)
,
то фильтр, реализующий этот алгоритм,
называется рекурсивным.
Из выше изложенного можно сделать вывод, что НФ представляет собой устройство без обратной связи, а РФ - устройство с обратной связью.
Рассмотрим еще один способ деления цифровых фильтров в зависимости от характера импульсной характеристики. Фильтры делят на два следующих класса:
КИХ-фильтры (с конечной импульсной характеристикой)
БИХ-фильтры (с бесконечной импульсной характеристикой)
Стоит отметить, что все практически реализуемые НФ являются КИХ - фильтрами, а почти все РФ – БИХ – фильтрами.
Понятие устойчивости фильтров
Для практического применения цифровой фильтр должен быть устойчивым, или, во всяком случае, необходимо знать вариант устойчивого исполнения фильтра.
Числитель и знаменатель передаточной функции общего вида, заданной выражением:
(2.9)
являются полиномами
комплексной переменной
с действительными коэффициентами и
поэтому могут быть представлены следующим
образом:
(2.10)
где
и
-
действительные, либо комплексные. В
последнем случае они образуют сопряженные
пары. Коэффициент А
– действительная
постоянная.
Величины
,
называют нулями,
а
,
- полюсами
передаточной функции. Полюсы и нули
расположены на плоскости
.
Цифровой фильтр
называют устойчивым,
когда модули
полюсов его передаточной функции больше
1, или, что эквивалентно, когда все полюса
расположены вне окружности
,
(называемой единичной
окружностью).
Для характеристики устойчивости можно дать еще одно определение. Широко используемым является критерий устойчивости типа ОВОВ (ограниченный выход при ограниченном входе). Это означает, что цифровой фильтр устойчив, если его реакция на ограниченный вход также ограничена. Линейный инвариантный относительно сдвига фильтр является устойчивым типа ОВОВ только тогда, когда:
(2.11)
где
-
импульсная характеристика фильтра.
Стоит отметить, что если
имеет конечное число членов, то этот
критерий всегда удовлетворяется.