МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики" МГТУ МИРЭА

Цифровая обработка сигналов и изображений

Методические указания

по выполнению лабораторных работ

для студентов, обучающихся по направлению подготовки 220400.68 «Управление в технических системах»

Профиль подготовки

«Управление и информатика в технических системах»

Квалификация (степень) выпускника

Магистр

МОСКВА 2013

Составитель зав. кафедрой АС профессор Ивченко В.Д.

Методические указания являются пособием для выполнения лабораторных работ по цифровой обработке сигналов и изображений.

Материал предназначен для студентов дневного отделения, обучающихся в магистратуре, изучающих дисциплину «Цифровая обработка сигналов и изображений» и может быть использован для самостоятельной работы студентов.

Лабораторный практикум по цифровой обработке сигналов и изображений

Тема 1. Спектральный анализ и синтез сигналов

1. Краткие теоретические сведения.

Синтез конкретных алгоритмов анализа сигналов предполагает применение той или иной ортонормированной системы базисных функций. Выбор системы определяет размерность, память и быстродействие при технической реализации на компъютерах задач данного класса. Множество ортонормированных систем функций наиболее приемлемых для спектрального анализа сигналов является ограниченным. В качестве таких систем в первую очередь могут быть рассмотрены ортогональные тригонометрические функции Фурье, ортогональные полиномы Чебышева, функции Уолша и наиболее приспособленные ортогональные функции, определяемые разложением Карунена-Лоэва.

Тригонометрические функции Фурье в пространстве

образуют полную ортогональную систему, называемую тригонометрической. Тогда функцию можно представить в виде тригонометрического ряда Фурье

(1.1)

причем коэффициенты Фурье равны

Если функция задана на отрезке произвольной длины , то заменив получим

(1.2)

В соответствии с этим

и

.

Если функция задана на отрезке , то ряд Фурье имеет вид

где

Если является частичной суммой ряда Фурье

то среднее квадратичное отклонение от можно найти в соответствие с выражением

Причем среди всех тригонометрических многочленов

с данным частичная сумма ряда Фурье дает наилучшую (в метрике ) аппроксимацию функции .

Тригонометрический ряд Фурье можно записать в комплексной форме, если воспользоваться формулой Эйлера

Тогда на отрезке

Внося эти выражения в ряд Фурье (1.2), получим

где

при

Ряд

(1.3)

где

(1.4)

называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме.

Если функция задана на отрезке , то ряд Фурье в комплексной форме имеет вид

(1.5)

причем, коэффициенты разложения определяются выражением

. (1.6)

Пусть теперь функция задана равноотстоящими дискретными

значениями , . Рассматривая только положительные частоты и считая ширину спектра функции ограниченной, из соотношения (1.6) вытекает дискретное преобразование Фурье функции

, (1.7)

а из (1.5) следует обратное дискретное преобразование Фурье

, (1.8)

Применив к функции дискретное преобразование Фурье, можно найти оценку спектральной плотности этой функции

, (1.9)

где - период дискретизации.

Таким образом, спектральная плотность, характеризует мощность диагностического сигнала на дискретных частотах

, ,

задается набором дискретных значений.

Проведем краткую классификацию сигналов. Под сигналом будем понимать зависимость той или иной физической величины (напряжение, ток, освещенность, давление и др.) от времени. Различают детерминированные и случайные сигналы. Детерминированный сигнал точно известен в любой момент времени. Случайный сигнал представляет собой случайную величину, значение которой известно с некоторой вероятностью.

Существует класс сигналов с ограниченной энергией, для которых справедливо записать

,

Здесь y(t) – сигнал с ограниченной энергией.

Важное свойство сигнала – периодичность. Для периодического сигнала с периодом T выполняется соотношение

при любом t и числе n.

Если T период сигнала, то периодами будут и 2T, 3T, … Обычно под периодом сигнала понимают наименьший из возможных T. Любой периодический сигнал имеет бесконечную энергию.

Следующий класс сигналов – сигналы с конечной длительностью (финитные сигналы), они существуют на ограниченном временном интервале и имеет конечную энергию.

Типовые сигналы.

1. Важнейшую роль играют сигналы в виде гармонических колебаний

y(t) = Acos(ωt + φ).

Сигнал полностью определяется А – амплитудой, ω – частотой и φ - фазой.

2. Дельта-функция δ(t) представляет собой бесконечно высокий и бесконечно узкий импульс с площадью равной единице

δ(t) = ,

3. Единичное ступенчатое воздействие

1(t) = .

4. Последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой А, длительностью τ и периодом повторения Т.

5. Меандр - последовательность прямоугольных импульсов со скважностью q = T/τ, равной двум, когда длительность и промежутки между импульсами равны.