Локсодромія,її властивості та обчислення елементів.
Если совершать плавание постоянным курсом, то траектория перемещения судна по земной поверхности будет представлять собой кривую, называемую в математике логарифмической спиралью.
В навигации эта сложная двоякой кривизны линия называется локсодромией, что в переводе с греческого языка означает «косой бег».
Однако кратчайшее расстояние между двумя точками на земном шаре измеряется по дуге большого круга.
Дуга большого круга получается как след от пересечения земной поверхности с плоскостью, проходящей через центр Земли, принимаемой за шар.
В навигации дуга большого круга получила название ортодромия, что в переводе означает «прямой бег». Второй особенностью ортодромии является то, что она пересекает меридианы под различными углами (рис. 29).
Разность расстояний между двумя точками на земной поверхности по локсодромии и ортодромии имеет практическое значение только при больших океанских переходах.
|
|
Рис. 29. Ортодромия и локсодромия |
Рис. 30. Локсодромия и ее изображение на меркаторской проекции |
В обычных же условиях этой разностью пренебрегают и плавание совершают на постоянном курсе, т.е. по локсодромии.
Для вывода уравнения возьмем на локсодромии (рис. 30, а) две точки А и В, расстояние между которыми элементарно мало. Проведя через них меридианы и параллель, получим элементарный прямоугольный сферический треугольник ABC. В этом треугольнике угол, образованный пересечением меридиана и параллели, прямой, а угол, PnAB равен курсу судна К. Катет АС представляет отрезок дуги меридиана и его можно выразить
где R — радиус Земли, принятой за шар;
Δφ — элементарное приращение широты (разность широт).
Катет СВ представляет отрезок дуги параллели
где r — радиус параллели;
Δλ — элементарная разность долгот.
Из треуголника OO1C можно найти, что
Тогда в окончательном виде катет СВ можно выразить так:
Принимая элементарный сферический треугольник ABC за плоский, напишем
После сокращения R и замены элементарно малых приращений координат бесконечно малыми будем иметь
Проинтегрируем полученное выражение в пределах от φ1, λ1 до φ2, λ2 считая значение tgK величиной постоянной:
В правой части имеем табличный интеграл. После подстановки его значения получим уравнение локсодромии на шаре
(58)
Анализ этого уравнения позволяет сделать следующие выводы:
при курсах 0 и 180° локсодромия превращается в дугу большого круга — меридиан;
при курсах 90 и 270° локсодромия совпадает с параллелью;
локсодромия пересекает каждую параллель только один раз, а каждый меридиан — бесчисленное количество раз. т.е. спиралеобразно приближаясь к полюсу она его не достигает.
Плавание постоянным курсом, т. е. по локсодромии, хотя она и не является кратчайшим расстоянием между двумя точками на Земле, представляет для судоводителя значительные удобства.
Требования, предъявляемые к морской навигационной карте, можно сформулировать, основываясь на преимуществе плавания по локсодромии и результатах анализа ее уравнения следующим образом.
1. Локсодромия, пересекая меридианы под постоянным углом, должна изображаться прямой линией.
2. Картографическая проекция, используемая для построения карт, должна быть равноугольной, чтобы курсы, пеленги и углы на ней соответствовали своему значению на местности.
3. Меридианы и параллели, как линии курсов 0, 90, 180° и 270°, должны быть взаимно перпендикулярными прямыми линиями.
Картографическая проекция, удовлетворяющая перечисленным требованиям, была предложена голландским картографом Герардом Крамером (Меркатором) в 1569 г. В честь ее создателя проекция получила название меркаторской.