Розв’язання:
У матриці всі елементи стратегії А3 менші за відповідні елементи стратегії А1. Отже, стратегія А3 є невигідною, порівнюючи зі стратегією А1, і може бути відкинута. Так само елементи стратегії А5 менші за відповідні елементи стратегії А2. Тому і стратегія А5 може бути відкинута. Тож, платіжну матрицю в спрощеному вигляді зображено в табл. 2.
Таблиця 2 – ПЕРЕТВОРЕНА ПЛАТІЖНА МАТРИЦЯ
Стратегія гравців |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
А1 |
1150 |
1260 |
560 |
1120 |
А2 |
3540 |
820 |
1460 |
1800 |
А4 |
580 |
2 920 |
1500 |
1800 |
А6 |
4810 |
350 |
1120 |
500 |
Якщо задачу зведено до матричної форми, то можна порушувати питання про пошук оптимальних стратегій. Насамперед, введемо поняття верхньої та нижньої ціни гри.
Нижньою ціною гри називається елемент матриці, для якого виконується умова:
.
Нижня ціна гри показує, що хоч би яку стратегію застосовував гравець В, гравець А гарантує собі виграш, не менший за а.
Верхньою ціною гри називається елемент, що задовольняє умову:
.
Верхня ціна гри гарантує для гравця В, що гравець А не отримає виграш, більший за β.
Сідлова точка – елемент матриці, для якого виконується умова:
У цій точці найбільший з мінімальних виграшів гравця А точно дорівнює найменшому з максимальних програшів гравця В.
Приклад 2.
Знайти сідлову точку в грі, що характеризується платіжною матрицею, даною в таблиці.
Таблиця – ПЛАТІЖНА МАТРИЦЯ
Стратегія гравців |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
А1 |
–50 |
10 |
10 |
30 |
–50 |
А2 |
40 |
20 |
–50 |
–60 |
–20 |
А3 |
50 |
30 |
40 |
60 |
40 |
А4 |
70 |
–30 |
30 |
–10 |
–60 |
Розв’язання:
1) дивимось за рядками та обираємо min: а = max(–50, –60, 30, –60) = 30
2) дивимось за стовбчиками та обираємо max: β = min(70, 30, 40, 60, 40) = 30
3) сідлова точка знаходиться на перетині А3 та В2.
Під час аналізу платіжної матриці можливі два випадки оцінювання вибору:
Випадок 1. Платіжна матриця має сідлову точку. Оскільки ми прийняли умову максимальної розумності гравців, то саме ці рядок та стовпець і являють собою оптимальні стратегії гравців. За умови використання одним із гравців оптимальної стратегії іншому гравцю невигідно відступати від своєї оптимальної стратегії, тобто стратегії, що відповідають сідловій точці, є найбільш вигідними для обох гравців. Метод вибору стратегій на основі сідлової точки називається «принципом мінімаксу», який інтерпретується так: чини так, аби за найгіршої для тебе поведінки супротивника отримати максимальний виграш.
Випадок 2. Платіжна матриця не має сідлової точки. У цій ситуації теорія пропонує керуватися так званими мішаними стратегіями, тобто тими стратегіями, в яких випадковим чином чергуються особисті стратегії. Цей метод широко використовується на інтуїтивному рівні. Точний метод знаходження оптимальної мішаної стратегії зводиться до задачі лінійного програмування і, хоча й не є дуже складним, досить трудомісткий.
Існують спеціальні комп’ютерні програми, що реалізують цей метод.
Утеорії ігор мішана стратегія – модель, коли жоден із гравців не знає, як поведе себе противник у даній ситуації. Умови застосування мішаних стратегій:
1) гра без сідлової точки;
2) гравці використовують випадкове поєднання чистих стратегій із заданими ймовірностями;
3) гра багаторазово повторюється в подібних умовах;
4) під час кожного з ходів жоден гравець не інформований про вибір стратегії іншим гравцем;
5) припускається осереднення результатів ігор.
Лекція 10