2. Корисність за Нейманом. Очікувана корисність.

Аксіоми раціональної поведінки наведено у праці Дж. Фон Неймана та О. Моргенштерна. За умови виконання цих аксіом автори довели теорему про існування деякої функції, що регулює раціональний вибір, – функції корисності.

Аксіома 1 (повноти).

Коли підприємець стикається з двома будь-якими рядами подій, він завжди може сказати, який йому більше до вподоби або йому байдуже, який із рядів подій вибрати. Ця аксіома записується у вигляді:

• X ≥ Y (X більше до вподоби, ніж Y, або байдуже);

• X = Y (Xі Yрівноцінні);

• X > Y (X більше до вподоби, ніж Y).

Завдяки аксіомі повноти споживач наділяється здатністю класифікувати (розрізняти) ряди подій, тобто вмінням порівнювати всі альтернативи.

Аксіома 2 (транзитивності).

Перевага серед різних рядів подій послідовна, тобто,

якщо ряд X > Y, Y > Z, то X > Z.

Завдяки аксіомі транзитивності виключається мінливість смаків споживача. Отже, щоб господарювання було раціональне, підприємець повинен мати усталений смак, інакше він ніколи не зможе зробити правильний вибір.

Аксіома 3 (незалежності).

Нехай існують блага або товари X і Y, які, на думку індивіда, однакові, та дві лотереї, які відрізняються лише тим, що одна містить X, а друга – Y, тоді ці дві лотереї для індивіда однакові.

Аксіома 4 (нерівних імовірностей).

Якщо індивіду запропонувати дві лотереї, які дають однаковий виграш із різною ймовірністю, то він обирає ту, ймовірність виграшу якої більша.

Аксіома 5 (складеної (рус. составленной) лотереї). 

Коли призом однієї лотереї є білет іншої лотереї, то індивід приймає рішення лише з міркувань імовірності виграшу кінцевого призу.

Для визначення корисності використовують поняття лотереї. Для цього експерту пропонують порівняти дві альтернативи:

• значення показника X;

• лотерею: отримати   з імовірністю   або   з ймовірністю   —  .

Величину ймовірності   змінюють поступово до такої величини від 0 до 1, доки, на думку експерта, значення показника  і лотерея   стануть еквівалентними.

Нехай лотерея приводить до виграшів (подій) із відповідними ймовірностями  і відповідними корисностями  .

Математичне очікування виграшу, тобто очікуваний виграш, обчислюють за формулою:

. (8.1)

Математичне очікування корисності, тобто очікувану корисність, визначають за формулою:

.  (8.2)

Корисність результатів збігається з математичним сподіванням корисності результатів.

Взаємозв’язок ризику з функціями корисності визначається поняттям детермінованого еквіваленту.

Детермінований еквівалент лотереї – це гарантована сума   отримання якої еквівалентно участі в лотереї і гарантує особі таку саму корисність, як і участь у ризикованій справі, тобто

 .  (8.3)

3. Види схильності до ризику та корисність

Особу, що приймає рішення, називають несхильною до ризику, коли для неї найбільш пріоритетною є можливість одержати гарантовано очікуваний виграш у лотереї, ніж узяти в ній участь.

Відповідно до цього умова несхильності до ризику набуває такого вигляду:

,  (8.4)

тобто корисність отримання гарантованої суми без участі в лотереї більша за очікувану корисність результатів лотереї. ОПР не схильна до ризику тоді й тільки тоді, коли її функція корисності увігнута.

Умова схильності до ризику набуває такого вигляду:

,  (8.7)

тобто корисність отримання гарантованої суми без участі в лотереї менша за очікувану корисність результатів лотереї. ОПР схильна до ризику тоді й тільки тоді, коли її функція корисності опукла.

Рисунок – Вигляд графіка опуклої функції

Рисунок – Вигляд графіка вігнутої функції

Примітка: графік опуклої функції лежить над дотичною (русск. касательной), що проведено до будь-якої її точки, а графік вігнутої функції – під дотичною.

Премія за ризик у випадку схильності до ризику показує, скільки коштів інвестор може додатково отримати або втратити, ризикуючи.

Умова байдужості до ризику набуває такого вигляду:

. (8.8)

ОПР байдужа до ризику тоді й тільки тоді, коли її графік функції корисності – пряма.

Премія за ризик у випадку байдужості до ризику завжди дорівнює нулю.

Методика побудови функції корисності для будь-якого економічного показника складається з таких кроків:

Крок 1. Виявити найкращі та найгірші з можливих допустимих показників і присвоїти їм значення корисності відповідно 100 і 0 (якщо корисність оцінюється за 100-бальною шкалою).

Крок 2. Розглянути кілька проміжних показників і вказати їхнє значення корисності (кожним експертом окремо).

Крок 3. Розрахувати середні оцінки корисності проміжних значень, вказаних експертами.

Крок 4. Якщо спостерігається розсіювання значень якогось із показників, то потрібно повернутися до кроку 2, аби узгодити думки експертів для досягнення прийнятного діапазону розсіювання оцінок (кроки 2—4 можуть повторюватися кілька разів).

Крок 5. Визначення функції корисності через побудову функції регресії методом найменших квадратів (простіша функція корисності – рівняння прямої).

Вид і аналітична форма функції корисності свідчить про відношення суб’єкта, що приймає рішення, до ризику.

Приклад.

Підприємство має тимчасово вільні кошти – 10 000 грн і вирішує питання про їх використання за двома альтернативними варіантами:

1) можна вкласти гроші в деякий інвестиційний проект. У випадку невдачі підприємство втрачає свої гроші, а у випадку успіху – через рік отримує 40 000 грн.

2) покласти гроші в банк без ризику.

У випадку вкладання коштів у інвестиційний проект спеціаліст з маркетингу вважає, що ймовірність успіху – 0,3.

Щоб прийняти рішення стосовно використання підприємством грошей, потрібно врахувати думки директора та бухгалтера. Відомості про погляди директора й бухгалтера щодо корисності різних сум доходів подано в табл. 1.

Таблиця 1 – Корисність різних сум доходів на думку директора й бухгалтера

Корисність із погляду	Дохід
	0 тис. грн.	10 тис. грн.	20 тис. грн.	30 тис. грн.	40 тис. грн.
Директора, бали	0	10	25	50	100
Бухгалтера, бали	0	45	75	90	100

Потрібно:

– визначити варіант вкладання коштів за допомогою критерію очікуваного доходу;

– побудувати два графіки корисності та визначити за ними ставлення до ризику обох спеціалістів.

Розв’язання:

1) Спочатку розрахуємо очікувані доходи для обох варіантів вкладання коштів (табл. 2).

Таблиця 2 – Розрахунок очікуваного доходу, грн.

Можливі результати	Можливі рішення		Імовірність успіху
	інвестиційний проект, грн.	банк, грн.
Успіх	40 000	10 000	0,3
Невдача	0	10 000	0,7
Очікуваний дохід	40 000*0,3 + 0*0,7= = 12 000	10 000
Дисперсія (s2)	336 000 000	0	–
Ризик (s)	18330,30 грн.	0	–

Розрахунок дисперсії:

s² = (40 000 – 12 000)² * 0,3 + (0 – 12 000)² * 0,7 = 336 000 000 грн².

Розрахунок ризику:

s = = = 18330,30 грн.

У разі вкладання грошей у банк ризику немає.

За очікуваним доходом потрібно обрати варіант вкладання грошей в інвестиційний проект, але, якщо врахувати ризик, то більш привабливим буде варіант вкладання коштів у банк.

2) Побудуємо два графіки корисності доходів, відповідно, за поглядами директора (рис. 1) та бухгалтера (рис. 2), користуючись шкалою корисності (див. табл. 1).

 

Рис. 1. Графік корисності доходів за директором

Рис. 2. Графік корисності доходів за бухгалтером

Згідно з графіками можна дійти висновку, що директор підприємства схильний до ризику, так як його графік корисності доходів опуклий.

Бухгалтер, за графіком, не схильний до ризику, оскільки його графік – увігнутий.