5

Моменты инерции однородных тел правильной формы.

Момент инерции материальной точки определяется произведением массы материальной точки на квадрат расстояния от оси вращения до рассматриваемой точки.Моменты инерции однородных тел правильной формы относительно оси проходящей через их центр масс рассчитываются достаточно просто исходя из формул объемов тел, и определения плотности в виде . Поясним это на примере однородного цилиндра. Мысленно разобьем цилиндр на концентрические слои толщиной , тогда масса цилиндра радиуса -очевидно, будет равна , здесь - высота цилиндра. Момент инерции рассматриваемого слоя .Прямое интегрирование последнего выражения позволяет получить полный момент цилиндра

.Учитывая, что масса равна , окончательно получим .

Аналогично рассуждая, можно получить формулы для расчета моментов инерций и для других тел вращения правильной формы, для случая, когда ось вращения проходит через центр масс рассматриваемого тела

Тонкий обруч	Стержень (закрепленный посередине)	Стержень (закрепленный см. рис.)
Однородный цилиндр	Диск	Шар

 Теорема ШТЕЙНЕРА.

 Момент инерции данного тела относительно, какой либо данной оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси.

Согласно теореме Гюйгенса - Штейнера - момент инерции тела J относительно произвольной оси (рис. 6.4) равен сумме:

1)момента инерции этого тела J₀, относительно оси, проходящий через центр масс этого тела, и параллельной рассматриваемой оси,

2) произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.