К экзамену / Дискретка

&

&

+

y

24 Тождества булевой алгебры. Элементарные преобразования.

Данная алгебра, носителем которого является все множество булевых функций, а сигнатура Ω ) – три логические операции – инверсия, конъюнкция и дизъюнкция.

Пусть x, y и z – произвольные булевы функцию. Тогда тождества булевой алгебры будут иметь вид:

Свойство коммутативности операций v u ^:

1а. x v y = y v x, 1б. x ^ y = y ^ x.

Свойство ассоциативности операций v u ^:

2а. x v (y v z) = (x v y) v z, 2б. x ^ (y ^ z) = (x ^ y) ^ z

Свойство дистрибутивности операций v от ^ и ^ от v:

3а. x v (y ^ z) = (x v z),

3б. x ^ (y v z) = (x ^ y) v (x ^ z).

Свойство нуля и единицы:

4а. x v x = 1 – определение единицы,

4б. x ^ x = 0 – определение нуля,

5а. x v 1 = 1, 5б. x ^ 1 = x,

6а. x v 0 = x 6б. x ^ 0 = 0,

7а. 0 = 1 7б. 1 = 0

Свойство идемпотентности операций v u ^:

8а. x v x = x, 8б. x ^ x = x,

Закон поглощения:

9а. x v (x ^ y) = x, 9б. x ^ (x v y) = x,

Законы Де Моргана:

10а. x v y = x v y, 10б. x ^ y = x v y,

21 Метод Блейка. Пример.

Метод основан на использовании правила обобщенного склеивания и правила поглощения. Для применения метода необходимо выполнить следующие шаги:

1) пополнить ДНФ новыми членами с использованием правила обобщенного склеивания;

2) произвести элементарные поглощения, в результате которых появится новая ДНФ;

3) считать новую ДНФ исходной, перейти к п.1;

4) повторять пп. 1- 3 пока ДНФ будет пополняться новыми членами.

Пример: D0 = x1x2 v x1x3 v x2x3.

1 2 3

Применим правило обобщенного склеивания:

1 2 1-2 3 1-3

D1 = x1x2 v x1x3 v x2x3 v x2x3 v x1x3

1 2 3 4 5

Произведем поглощения

2-5

3-4

D2 = x1x2 v x3.

Метод Блейка позволяет получить минимальную ДНФ из произвольной ДНФ, не обязательно совершенной.

30 Метод Квайна – Мак – Класки, карты Карно.

Метод представляет собой формализованный на этапе нахождения простых импликант метод Квайна. Формализация производится следующим образом:

1) Все конституанты единицы из СДНФ булевой функции f записываются их двоичными номерами.

2) Все номера разбиваются на непересекающиеся группы. Признак образования i-й группы: i единиц в каждом двоичном номере конституенты единицы.

3) Склеивание производят только между номерами соседних групп. Склеиваемые номера отмечаются каким-либо знаком (зачеркиванием).

4) Склеивания производят всевозможные, как и в методе Квайна. Неотмеченные после склеивания номера являются простыми импликантами.

Нахождение минимальных ДНФ далее производится по импликантной матрице, как и в методе Квайна. Более подробно рассмотрим метод на примере решения следующей задачи: минимизировать методом Квайна - Мак-Класки булеву функцию f, заданную таблицей истинности.

Карты Карно позволяют эти геометрические идеи использовать при п = 3, 4, 5, для функций, заданных своей таблицей истинности. При больших п карты Карно практически не используются. Рассмотрим отдельно (и более подробно) случаи п = 3, 4. Составляем таблицу истинности для данной конкретной функции п = 3 в виде таблицы, приведенной в примере. (Заметим, что для х₁ и х₂ естественный порядок набора переменных здесь нарушен. Это сделано для того, чтобы при переходе от данного к следующему набору переменных в этом наборе менялась только одна цифра). Прямая содержит 2 вершины, плоскость – 4, гиперплоскости – 8, 16 и т. д. вершин, поэтому объединять можно 2 рядом стоящие единицы или 4, 8, 16 и т. д. Карты Карно соединяются “по кругу”, т. е. наборы (10) и (00) считаются рядом стоящими.

Пример Пусть задана функция:

Видно, ее СДНФ содержит (по числу 1) 6 дизъюнктных слагаемых, но ее сокращенная ДНФ содержит (после объединения единиц) всего 2 буквы f = x₁ x₂