1. Понятие системы счисления

Системой счисления называется совокупность приёмов наименования и записи чисел. Позиционной системой счисления называют такую систему, в которой значение каждой цифры, образующей число, зависит от её позиции в числе. То есть одна и та же цифра в зависимости от её местоположения в числе умножается на различный весовой коэффициент для определения её истинного значения. Основанием системы счисления называется количество различных цифр, применяемых в соответствующей позиционной системе счисления, необходимых для изображения любого числа в этой системе. Число в р-ичной системе счисления: A_P=a_npⁿ+ a_n-1p^n-1+…+ a₁p¹+ a₀p⁰+ a_-1p^-1+ a_-mp^-m.

2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Правило перевода целых чисел Хр -> Хп из одной позиционной системы счисления в другую для любых оснований р и п: Путем последовательного деления числа Хр и его частных на п получают в виде остатков деления р-ичные записи п-ичных цифр (начиная с младшей), необходимые для изображения числа Х в п-ичной системе счисления. Последовательное деление производится до тех пор, пока не получится частное, меньшее чем п. Это последовательное частное является старшей п-ичной цифрой числа Х. Деление выполняется в исходной, т. е. в р-ичной системе счисления. Пример. Х10=189; р=10; п=8. Требуется перевести из 10-й системы в 8-ю. 189:8=23+5, 23:8=2+7. Ответ Х8=275. Проверка Х=275=2*82+7*81+5*80=189.

Правило перевода правильных дробей Ср -> Сп из одной позиционной системы счисления в другую для любых оснований р и п: Путём последовательного умножения числа Ср и дробных частей образующихся произведением на п получают в виде целых частей этих произведений р-ичные записи п-ичных цифр (начиная со старшей), необходимых для изображения правильной дроби С в системе счисления с основанием п. Умножение выполняется в исходной, т. е. в р-ичной системе счисления до тех пор, пока не будет получена заданная точность перевода, либо дробная часть произведения не станет равной нулю. Пример. С10=0,6875; р=10; п=8. Требуется перевести правильную десятичную дробь С10 в двоичную систему счисления, т. е. найти число С8. 0,6875*8=5,5000, 5,5000*8=4,0000. Ответ С8=0,54. Проверка С=0,54=0,(5*8-1+4*8-2)=0.

Если число Х – неправильная дробь, то в этом случае отдельно переводят целую и дробную части. Результат записывают справа целую, слева дробную части, разделив запятой.

3. Представление чисел с фиксированной и плавающей запятой в эвм.

При работе с фиксированной запятой оперируют с правильными дробями, т.е. с числами, которые по модулю строго меньше единицы. При этом применяется естественная запись числа в виде последовательности цифр, у которой запятая фиксирована перед первым (старшим) цифровым разрядом. Слева от запятой отводится разряд (или два) для изображения знака числа (0-отрицательное, 1-положительное). Пример: 0,01-положительное, 1,01-отрицательное. Недостатком представления чисел с фиксированной запятой является небольшой диапазон представляемых чисел. Возможно также переполнение разрядной сетки при сложении чисел с фиксированной запятой с одинаковыми знаками, каждое из которых по модулю меньше 1, а сумма по модулю больше или равна 1. Переполнение разрядной сетки прявляется в том, что результат операции, т.е. старший разряд результата операции оказывается в знаковом разряде, что недопустимо и требует остановки вычислительного процесса.

Любое число в позиционной системе счисления можно представить в следующем виде: Х=±м·10±р, где м-мантисса числа Х, причём |м|<1, р- нуль или произвольное целое число, называемое порядком числа Х, 10 – основание системы счисления. Х=-1101,01=-0,110101·10+100. Мантисса представляет собой цифровую часть числа, выраженную правильной дробью, а порядок р указывает на место положения запятой в числе Х и является целым числом. Таким образом, для записи числа в ячейке памяти машины с плавающей запятой необходимо иметь место для записи знака мантиссы, модуля мантиссы, знака порядка и самого порядка. Если в старшем разряде мантиссы находится единица, то такое число называется нормализованным, если нуль – денормализованным. Если при выполнении арифметических операций произойдёт переполнение разрядной сетки, т.е. цифровой разряд окажется в знаковом разряде, то мантиссу сдвигают на один разряд вправо и к порядку прибавляют единицу. Эта операция автоматически устраняет переполнение разрядной сетки.