
- •Высшая математика Основные теоремы и определения
- •Свойства рядов.
- •Критерий Коши.
- •Степенные ряды.
- •Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
- •Ряд Тейлора.
- •Предельный признак Даламбера.
- •Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •Знакочередующиеся ряды.
- •Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •Свойства абсолютно сходящихся рядов.
- •Тригонометрический ряд.
- •Функциональные ряды.
- •Разложение в ряд Фурье непериодической функции.
- •Свойства равномерно сходящихся рядов.
- •Ряды Фурье для функций любого периода.
- •Список литературы
Ряд Тейлора.
(Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французский математик)
Функция
f(z),
аналитическая в круге
,
разлагается в сходящийся к ней степенной
ряд по степеням (z
– z0).
Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора.
Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
где
-
многочлен степениm.
Тогда частное решение ищется в виде:
Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно.
Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
где
число r
показывает сколько раз число
является корнем характеристического
уравнения для соответствующего
однородного уравнения, аQ1(x)
и
Q2(x)
– многочлены степени не выше m,
где m-
большая из степеней m1
и m2.
Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.
Т.е.
если уравнение имеет вид:
,
то частное решение этого уравнения
будет
где
у1
и
у2
– частные решения вспомогательных
уравнений
и
Предельный признак Даламбера.
Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.
Если
существует предел
,
то при < 1 ряд сходится, а при > 1 –
расходится. Если = 1, то на вопрос о
сходимости ответить нельзя.
Пример.
Определить сходимость ряда
.
Вывод: ряд сходится.
Пример.
Определить сходимость ряда
Вывод: ряд сходится.
Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Определение. Совокупность соотношений вида:
где х- независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.
Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.
Такая система имеет вид:
(1)
Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.
Теорема.
(Теорема Коши). Если в некоторой области
(n-1)
–мерного пространства функции
…
непрерывны и имеют непрерывные частные
производные по
,
то для любой точки
этой области существует единственное
решение
системы
дифференциальных уравнений вида (1),
определенное в некоторой окрестности
точки х0
и удовлетворяющее начальным условиям
Определение.
Общим решением системы дифференциальных
уравнений вида (1) будет совокупность
функций
,
,
…
,
которые при подстановке в систему (1)
обращают ее в тождество
Ряды с неотрицательными членами.
При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.
Теорема.
Для
сходимости ряда
с
неотрицательными членами необходимо
и достаточно, чтобы частные суммы ряда
были ограничены.
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть
даны два ряда
и
при
un,
vn
0.
Теорема.
Если un
vn
при любом n,
то из сходимости ряда
следует
сходимость ряда
,
а из расходимости ряда
следует
расходимость ряда
.
Доказательство.
Обозначим через Sn
и
n
частные суммы рядов
и
.
Т.к. по условию теоремы ряд
сходится,
то его частные суммы ограничены, т.е.
при всехn
n
M,
где М – некоторое число. Но т.к. un
vn,
то Sn
n
то частные суммы ряда
тоже
ограничены, а этого достаточно для
сходимости.
Также используется следующий признак сходимости:
Теорема.
Если
и существует предел
,
гдеh
– число, отличное от нуля, то ряды
и
ведут
одинаково в смысле сходимости.
Признак Коши. (радикальный признак)
Если
для ряда
с
неотрицательными членами существует
такое числоq<1,
что для всех достаточно больших n
выполняется неравенство
,
то
ряд
сходится,
если же для всех достаточно большихn
выполняется неравенство
то
ряд
расходится.
Следствие.
Если существует предел
,
то при <1 ряд сходится, а при >1 ряд
расходится.
Интегральный признак Коши.
Если
(х) – непрерывная положительная функция,
убывающая на промежутке
[1;), то
ряд (1)
+ (2) + …+ (n)
+ … =
и несобственный интеграл
одинаковы в смысле сходимости.
Пример.
Ряд
сходится при >1 и расходится 1 т.к.
соответствующий несобственный интеграл
сходится при >1 и расходится 1. Ряд
называется общегармоническим рядом.
Следствие.
Если f(x)
и (х) – непрерывные функции на интервале
(a,
b]
и
то интегралы
и
ведут себя одинаково в смысле сходимости.