Формулы / Основные методы интегрирования

№

п/п

Вид интеграла

Метод интегрирования

2

Интегрирование по частям (Положить u=P_n(x).)

3

Интегрирование по частям (За u принять множитель при P_n(x).)

4

Двукратное интегрирование по частям

5

Выделение полного квадрата x² + px + q = (x + p/2)²+(q – p²/4) и подстановкой

x + p/2 = t

6

Выделяя в числителе дифференциал знаменателя, представляют интеграл в виде суммы интегралов

и , где u = x² + px+ q

7

I_n=

Применение рекуррентной формулы

I_n=

8

Тот же, что и для интегралов, рассмотренных в п.6. В результате получается интеграл из п.7

9

Выделение целой части ( если nm), разложение знаменателя на множители вида и (x и разложение рациональной дроби на простейшие дроби

10

Универсальная подстановка tg = t, тогда

, , , или частые подстановки: 1) если R( - sin x, cos x)=

- R(sin x, cos x), то cos x = t; 2) если R(sin x, -cos x) = - R (sin x, cos x), то sin x = t; 3) если

R( - sin x, - cos x) = R(sin x, cos x), то tg x = t

11

Универсальная или частные подстановки: 1) если m, n N и m, n – четные числа, то производится понижение степени формулами ;

2) если m – нечетное положительное число, то применяется подстановка cos x = t ; 3) если n – нечетное положительное число, то используется подстановка sin x = t

12

Разложение подынтегральной функции по формулам:

13

Подстановка x = t^s, где s – общий знаменатель дробей m₁/n₁, m₂/n₂,…

14

Подстановка ,где s – общий знаменатель дробей m₁/n₁, m₂/n₂,…

15

Выделение полного квадрата в подкоренном выражении и линейная подстановка

16

Выделяя в числителе производную подкоренного выражения, представляют интеграл в виде суммы интегралов и , где u=ax²+bx+c

17

Подстановка x =, приводящая к интегралам вида

18

Рационализация с помощью одной из следующих подстановок.: x = a sin t (или x = a cos t), x = tg t (или x = ctg t),

19

Выделение полного квадрата в подкоренном выражении и линейная подстановка, приводящая к одному из интегралов, рассмотренных в п. 18

20

Интегрирование заменой переменных (подстановкой): 1) если , применяется подстановка x = t^s, где s – общий знаменатель дробей m и n; 2) если , используется подстановка a+bxⁿ = t^s, где s – знаменатель дроби p; 3) если , применяется подстановка ax^-n+b = t^s, где s – знаменатель дроби p