Шпора №16

Признак Даламбера (с док-вом); Введем D_n=a_n+1/a_n; Т: _nlimD_n=d справедливо следующее: 1)d<1 то (1) сх-ся; 2) d>1 расх-ся; 3) d=1 доп.исслед-е; Док-во: _nlima_n+1/a_n=d => >0N _nn>N |a_n+1/a_n-d|<; d-<a_n+1/a_n<d+ (n>N); 1)d<1; d+q<1; a_n+1<qa_n(n>N); a_N+1<qa_N; a_N+a_N+1+a_N+2+…(1); a_N+2<qa_N+1<q²a_N; a_N+qa_N+q²a_N+…(2); a_N+3<qa_N+2<q³a_N члены ряда (2) больше , чем члены ряда (1) и 2-й ряд представляет из себя геом.прогрессию при q<1 => он сх-ся и => по признаку сравнения сх-ся и 1-й ряд => сх-ся и начальный ряд; 2)d>1 d-q>1;q=d-<a_n+1/a_n; a_n+1>qa_n(n>N;q>1) т.е. не выполняется необходимое усл-е (т.е. предел общ.члена не равен 0)=> ряд расх. 3)d=1

Интегральный признак Коши (с док-вом). Исследовать на сходимость ряд ^_n=1(1/n^p), (p>0) Р-м ф-цию f(x) в которой x – непрерывный аргумент (1<x<); Эта функция такова что в точке n она равна общему члену ряда f(n)=a_n (n=1,2…) Эта ф-ция наз-ся порождающей. Т. Предположим, что ф-ция f(x) положительная, непрерывная, монотонно убывающая ф-ция, то 1) если несобственный интеграл сх-ся ₁^f(x)dx=_Alim₁^Af(x)dx<(сход) то и ряд (1) сх-ся; 2) если несобственный интеграл расх-ся ся ₁^f(x)dx= _Alim₁^Af(x)dx – расх то и ряд (1) расх. Док-во: Р-м площадь кр-л-й трапеции I_n=₁ⁿf(x)dx Впишем прямоугольники, их площадь будет равна a₂+a₃+…+a_n<I_n; S_n-a₁<I_n;

Достаточный признак сходимости числовых рядов с членами любого знака (с док-вом). Абсолютная и условная сходимость. Примеры. Р-м ряд: a₁+a₂+a₃+…+a_n+…(1); |a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|+…(2) - знак

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница (с док-вом). Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда. ^_n=1a_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+(-1)^n-1a_n+… ; (a_n>0; n=1,2,…) (1); Т: Предположим, что члены з.ч.ряда удовлетворяют условиям: 1)a₁>a₂>…>a_n>a_n-1>…(2); 2)_nlima_n=0 (3); тогда з.ч.ряд сходится и сумма его меньше, чем 1-й член. S<a₁; Док-во: Р-м четные частичные суммы ряда (1), т.е. S_2m; S_2m=a₁-a₂+a₃-a₄+…+a_2m-1+a_2m; докажем что они монотонно возрастают и ограничены. S_2m+2=a₁-a₂+a₃-a₄+…+a_2m-1-a_2m+a_2m+1-a_2m+2; => S_2m<S_2m+2 (т.к. a_2m+1-a_2m+2>0 по условию); S_2m=a₁-(a₂-a₃)-…-(a_2m-2-a_2m-1)-a_2m (все в скобках >0); => S_2m<a₁; _mlimS_m=S<a₁; нечетные суммы S_2m+1=S_2m+a_2m+1 (S_2mS; a_2m+10 (т.к.lima_n=0))=>_mS; =>_nlimS_n=S<a₁;

Степенные ряды. Теорема Абеля (с док-вом). Интервал сходимости степенного ряда. Степенным рядом наз-ся функциональный ряд видаa₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…=^_n=0a_nxⁿ (где a и x – комплексные числа). Т: Если С.Р. сходится к (.) x₀0, то он удовлетворяет неравенству |x|<|x₀| и он сх-ся причем абсолютно; Если ряд расх-ся в (.) x₀, то он расх-ся на |x|>|x₀|; Док-во: 1)^_n=0a_nxⁿ₀-сход-ся. В силу необходимого условия общий член a_nxⁿ₀  к 0 (т.к. n0); M: |a_nx₀ⁿ|<M(n=0,1,2…); Докажем абс.сх-ть ряда ^_n=0|a_nxⁿ|=^_n=0|a_nx₀ⁿ||x/x₀|ⁿ<M^_n=0|x/x₀|ⁿ; |x/x₀|<1 => ^_n=0|x/x₀|ⁿ-сх-ся => ^_n=0|a_nxⁿ| тоже сх-ся => ^_n=0a_nxⁿ cх-ся абсолютно

Основные св-ва степенных рядов: непрерывность суммы, возможность по членного дифф-я и интегрирования. (-R; R) – область сходимости ряда; 1) Сумма степенного ряда (1) явл-ся непрерывной ф-цией в каждой точке x из интервала сходимости. Замечание: Если ряд сх-ся в конце области (пр-р (.) R) тогда  ряда будет непрерывной ф-цией в (.) R. 2) Степенной ряд диф-руем в интервале сходимости, т.е.для всех x принадлежащих x(-R;R); (^_n=0a_nxⁿ)`= <sup></sup><sub>n=0</sub>(a<sub>n</sub>x<sup>n</sup>)`= ^_n=1a_nnx^n-1 при этом полученный степенной ряд имеет тот же интервал сх-ти. Этот процесс (диф-я) можно продолжить, т.е.можно диф-ть люб.число раз и в результате получится степенной ряд с тем же интервалом сх-ти.  степенного ряда – бесконечно диф-мая величина. 3) Степенной ряд можно интегрировать в интервале сход-ти, при этом полученный степенной ряд имеет тот же интервал сх-ти. _x1^x2(^_n=0a_nxⁿ)dx=^_n=0a_{n x1}^x2xⁿdx; Найти ₀^x

Теорема о единственности разложения ф-ции в степенной ряд (с док-вом). Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Тейлора: f(x)=^_n=0(f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!)(x-x₀)ⁿ=f(x₀)+(f`(x<sub>0</sub>)/1!)(x-x<sub>0</sub>)+(f``(x<sub>0</sub>)/2!)(x-x<sub>0</sub>)<sup>2</sup>+…+(f<sup>(n)</sup>(x<sub>0</sub>)/n!)(x-x<sub>0</sub>)<sup>n</sup>; Маклорена: f(x)=<sup></sup><sub>n=0</sub>(f<sup>(n)</sup>(0)/n!)x<sup>n</sup>=f(0)+(f`(0)/1!)x+(f``(0)/2!)x²+…+(f⁽ⁿ⁾(0)/n!)xⁿ

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Теорема о сходимости ряда Тейлора к порождающей его ф-ции (с док-вом). Т: Для того чтобы ряд Тейлора сходился к ф-ции f(x) в окрестности (.) x₀ сходился к ф-ции f(x) необходимо и достаточно чтобы предел остаточного члена в этой точке был равен нулю f(x)<=>_nlimR_n(x)=0 (3); Необходимость: Дано: Ряд Тейлора сх-ся в точке (.)x; Док-ть что выполняется условие (3); _nlimS_n(x)=f(x); R_n(x)=f(x)-S_n(x); перейдем к пределу при n; lim f(x)-S_n(x)=0 =>limR_n=0 => выполняется (3). Достаточность: Дано (3); Док-ть что ряд Тейлора сх-ся к f(x); Док-во: Тоже что и необходимость только наоборот. f(x)=ⁿ_k=0(f^(k)(x₀)/k!)(x-x₀)^k+(f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)/(n+1)!)(x-x₀)ⁿ⁺¹ – формула Лагранжа. Остаточный член R_n(x)=(f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)/(n+1)!)(x-x₀)ⁿ⁺¹; c – число между x и x₀.

Разложение в ряд Маклорена ф-ции y=e^x (с док-вом сходимости ряда к порождающей его ф-ции) e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+…+xⁿ/n! x(-;)

Разложение в ряд Маклорена ф-ции y=sinx (с док-вом сходимости ряда к порождающей его ф-ции) sinx=x-x³/3!+x⁵/5!+…+(-1)^n-1x^2n-1/(2n-1)! x(-;)

Разложение в ряд Маклорена ф-ции y=cosx (с док-вом сходимости ряда к порождающей его ф-ции) cosx=1-x²/2!+x⁴/4!+…+(-1)ⁿx²ⁿ/(2n)! x(-;)

Разложение в ряд Маклорена ф-ции y=(1+x)^m (без исследования остаточного члена). Определить интервал сходимости полученного ряда (1+x)^m=1+mx+m(m-1)x²/2!+m(m-1)(m-2)x³/3!+… +m(m-1)…(m-n+1)xⁿ/n!;определение интервала сх-ти: _nlim|(m(m-1)…(m-n+1)(m-n)xⁿ⁺¹/(n+1)!)|/|(m(m-1)…(m-n+1)xⁿ/n!)|=lim|(m(m-1)…(m-n+1)(m-n)n!)/(m(m-1)…(m-n+1)(m-n)(n+1)!)^.(xⁿ⁺¹)/(xⁿ)|=|x|lim(|m-n|/n+1)=|x|<1 => -1<x<1

Разложение в ряд Маклорена ф-ции y=ln(1+x) (без исследования остаточного члена). Указать интервал сходимости. ln(1+x)=x-x²/2+x³/3+…+(-1)^n-1xⁿ/n –1<x<1

Разложение в ряд Маклорена ф-ции y=arctgx (без исследования остаточного члена). Указать интервал сходимости. arctgx=x-x³/3+x⁵/5+…+(-1)^n-1x^2n-1/(2n-1) –1<x<1

Ортогональные системы ф-ций. Ряды Фурье по ортогональной системе. Ортогональность тригонометрической системы (док-во). Система не нулевых ф-ций ₀(x), ₁(x), … _n(x) x(a,b) наз-ся ортогональной на промежутке (a,b) если (_n,_m)=_a^b_n(x)_n(x)dx=0 (nm). При всех n и m (n,m=0,1,2,3…)

Разложение периодической ф-ции в ряд Фурье. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке. Пример. Комплексный ряд Фурье. Если T=2 период и выполняется условия Дирихле f(x)=a₀/2+^_n=1(a_ncosnx+b_nsinnx); a_n=(1/)₀^2f(x)cosnx (n=0,1…); b_n=(1/)₀^2f(x)sinxdx (n=1,2…); Воспольз-ся формулой Эйлера e^inx=cosnx+isinx; e^-inx=cosnx-isinnx; найдем cosnx и sinnx; cosnx=(e^inx+e^-inx)/2; sinnx=(e^inx-e^-inx)/2i=-i(e^inx-e^-inx)/2; подставим в 1-вую фор-лу f(x)=a₀/2+^_n=1((a_n-ib_n)e^inx/2+(a_n+ib_n)e^-inx/2); f(x)=^_n=-c_ne^inx; обозначив через c_n=(a_n-ib_n)/2=(1/2)₀^2f(x)[cosnx-isinnx]dx; f(x)=^_n=-c_ne^inx; c_n=(1/2)₀^2f(x)e^-inxdx; n=…-2,-1,0,1,2… это ряд Фурье в комплексной форме.

Комплексные числа. Тригонометрическая и показательные формы комплексного числа. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа. Пр-ры. Z=a+bi, где a и b – действительные числа; i – мнимая единица (i²=-1); a=Rez – действительная часть; b=Imz – мнимая часть; z=x+yi<->M(x,y) - алгебраичаская форма; z=r(cos+isin); r-модуль КЧ; r=(x²+y²); {x=rcos;~{y=rsin; tg=y/x;  - argz; Argz=argz+2k; kz; -<<; - тригонометрическая форма; Формула Эйлера: e^ix=cosx+isinx; z=re^i-показательная форма; Таблица: e^+2i=1; e^+i=-1; e^+i/2=+i; e^+i/4=(1+i)/2;

Комплексные ф-ции действительного переменного. Интеграл Лапласа. Пусть дано: {x=(t);~{y=(t); <t<; f(t)=(t)+i(t) – КФВП-го t. t[,]z=f(t); _tt0limf(t)=A означает >0>0 _t|t-t₀|< => |f(t)-A|<; f(t)=(t)-i(t)}~A=a+ib} _tt0lim(t)=a; _tt0lim(t)=b; |(t)+i(t)-a-ib|< (где (t) и a – вещественная часть, а i(t) и ib – комплексная часть); (((t)-a)²+((t)-b)²)<; ((t)-a)²<²}~((t)-b)²<²} |(t)-a|<; |(t)-b|<; Арифметические операции сохраняются. 1)Непрерывность: f(t) непр-на на t₀; _tt0limf(t)=f(t₀); t₀+t: f(t₀)=f(t₀+t)-f(t₀); _t0limf(t₀)=0 это означает что вещественные ф-ции (t) и (t) непрерывны в (.) t₀; 2) Диф-цирование: f`(t<sub>0</sub>)= <sub>tt0</sub>lim(f(t<sub>0</sub>)/t)=`(t₀)+i`(t₀); 3)Интегрирование: _a^bf(t)dt= _0limⁿ_k=1f(_k)x_k; =maxx_k; _a^bf(t)dt=_a^b(t)dt+i_a^b(t)dt; _a^f(t)dt=_A+lim_a^Af(t)dt=_a^(t)dt+i_a^(t)dt; _-^f(t)dt=_-^cf(t)dt+_c^f(t)dt c-люб.число; _-^f(t)dt=_A+lim_A^Af(t)dt; Если сходится и-л _a^|f(t)|dt то и-л _a^f(t)dt сх-ся абсолютно; И-л Лапласа: F(p)=₀^f(t)e^ptdt; p=S+i; Он сх-ся если вещественная часть Rep>S₀; Док-во: |f(t)|<Me^S0t(0<t<, S₀>0, M>0); |e^pt|=|e^(S+i)t|=|e^St||e^it|=e^St; |e^-pt|=e^-St; ₀^|f(t)e^-pt|dt<M₀^e^S0te^-Stdt=M₀^e^(S0-S)tdt; он сх-ся когда когда (S₀-S)<0; т.е. S>S₀; Rep>S₀

Производная ф-ции комплексного переменного. Условия Коши – Римана. Гармонические ф-ции. Р-м однозначную ф-цию w=f(z); zDC; f`(z)=<sub>z0</sub>lim(w/z)=<sub>z0</sub>lim((f(z-z<sub>0</sub>)-f(z))/z) когда z произвольным образом  к 0. Если ф-ция V=f(z) имеет производную в каждой (.) обл-ти D, то она наз-ся аналитической в области D. Условие К-Р: y=f(z); f(z)=U(x,y)+iV(x,y); z=x+iy; f`(z)=_{x0;y0}lim((U+iV)/(x+iy)); U=U(x+x, y+y)-U(x,y); V=V(x+x, y+y)-V(x,y); 1) y=0; z=x; f`(z)=<sub>x0</sub>lim((<sub>x</sub>U+i<sub>x</sub>V)/x)=U/x+iV/dx (1); 2) x=0; z=iy; f`(z) )=_y0lim((_yU+i_yV)/iy)=V/y-iU/dy (2); U/x=V/y; U/y=-V/x – Условие Коши-Римана. Т: Если ф-ция w=f(z)=U(x,y)+iV(x,y) (где U(x,y) – вещественная часть, а V(x,y) – мнимая часть) диф-ма в точке z=x+iy, то для нее выполняется условие Коши-Римана. Условие К-Р-на явл-ся необходимым но не явл-ся достаточным, но справедливо если U(x,y) и V(x,y) – непрерывны, то для диф-ти ф-ции w=f(z) необходимо и достаточно условие К-Р. Подсчитаем: ²U/x²+²U/y=U; ²U/x²=²V/xy; ²U/y²=-²V/yx Предположим, что частные производные ф-ции U(x,y) непрерывны, тогда правые части (2-х последних ур-й) равны меж.собой, тогда сложим их; U=0 Вещественная часть наз-ся гармонической ф-цией; (То же и для мнимой части)

Теорема Коши (док-во). U/x=V/y; U/y=-V/x (1) Т:Предположим что ф-ция w=f(x) аналитична в односвязной области D, и L - замкнутый, кусочно гладеий контур, тогда _Lf(z)dz=0 (и-л замкнутый). Док-во: Воспользуемся формулой Грина (Остроградского): _LP(x,y)dx+q(x,y)dy=_d((Q/x)-(P/dy))dxdy. Докажем: _LUdx-Vdy=_d((-V/x)-(U/dy))dS воспользуемся формулой (1) из нее следует: U/y+V/x=0 => ((-V/x)-(U/dy)); Следствие из Т: Пусть ф-ция w=f(z) – аналитична в обл. D, и L₁ и L₂ – два кусочно гладких контура лежащих внутри D; Тогда: _L1f(z)dz=_L2f(z)dz (и-лы замкнутые). Док-во: Сделыем разрез и получим односвязную область L₂+l⁺+L₁^--l^-; _Lf(z)dz=0 (и-л замкнутый) _l+=-_l-; _l++_l-=0; _L1f(z)dz+_L2f(z)dz=0; _L1f(z)dz=-_L1f(z)dz=_L1f(z)dz

Формула Коши (док-во). Пусть ф-ция w=f(z) – аналитична в области D и на ее границе.D – односвязная. Пусть z₀ – внутренняя (.) области D. Тогда справедлива следующая формула f(z₀)=(1/2i)_l(f(z)/(z-z₀))dz (и-л круговой). Р-м ф-цию (z)=(f(z)-f(z₀))/(z-z₀) – аналитичную во всей области за исключением z₀ , т.к знаменатель = 0. _zz0lim(z)=_zz0lim((f(z)-f(z₀))/(z-z₀))=f`(z<sub>0</sub>); (z<sub>0</sub>)=f`(z₀)