Функциональные ряды

Ряд U₁+U₂+..+Un+.. называется функциональным, если его члены являются функциями от Х. Рассмотрим функциональный ряд U₁(Х)+U₂(Х)+..+Un(Х)+...(1) Совокупность тех значений Х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.

Обозначим через S_n(Х) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна S(x), то S(x)=S_n(x)+r_n(x), где r_n(x) есть сумма ряда U_n+1(x)+U_n+2(x) +…, т.е. r_n(x)= U_n+1(x)+U_n+2(x) +… В этом случае величина r_n(x) называется остатком ряда (1). Для всех значений Х в области сходимости ряда имеет место соотношение Lim_n→∞ r_n(x)= Lim_n→∞[S(x)-S_n(x)]=0, т.е. остаток r_n(x) сходящегося ряда стремится к нулю при n→∞.

Функциональный ряд U₁(Х)+U₂(Х)+..+Un(Х)+.. (1) называется мажорируемым в нек-й области изменения Х, если существует такой сходящийся числовой ряд а₁+а₂+а₃+…+а_n..(2) с положительными членами, что для всех значений Х из данной области выполняются соотношения │U₁(x)│≤a_1,…,│U_n(x)│≤a_n ,… Иначе, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена нек-го сход. ряда с полож. членами.

Ряд Тейлор.

Для ф-и F(x) имеющей все производные до (n-1) порядка включительно, в окрестности точки х=а справедлива формула Тейлора: f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+f(a)[(x-a)²/2!]+…

…+fⁿ(a)[(x-a)ⁿ/n!]+R_n(x), (1) где остаточный член R_n(х)={[(x-a)ⁿ⁺1]/[(n+1)!]}f⁽ⁿ⁺¹⁾[a+(x-a)], где 0<<1. Для того, чтобы ряд сходился к ф-и, необходимо и достаточно, чтобы при n остаток ряда стремился к 0, т.е. R_n(x)o. Переходя в формуле (1) к пределу при n, получим справа бесконечный ряд, котороый наз рядом Тейлора:

f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+…+fⁿ(a)[(x-a)ⁿ/n!]+…

Если в ряде Тейлора предположим а=0, то получим ряд Маклорена: f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)[x²/2!]+…

…+fⁿ(0)[xⁿ/n!]+….

Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена:

e^x=1+x+x²/2!+…+xⁿ/n!+… (-;)

sinX=x-x³/3!+x⁵/5!+…+(-1)^n-1[X2n^-1]/(2n-1)!+… (-;)

cosX=1-x²/2!+x⁴/4!-…+[(-1)ⁿX²ⁿ]/(2n)!+… (-;)

(1+x)^m=1+mx+[m(m-1)x²]/2!+[m(m-1)*

*(m-2)x³]/3!+[m(m-1)(m-n+1)xⁿ]/n!+… (-1;1)

ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-..+[(-1)ⁿxⁿ⁺¹]/(n+1)+.. (-1;1]

1/(1-x)=1+x+x²+…+xⁿ+..

1/(1+X²)=1-x²+x⁴-x⁶+…

arctgX=x-x³/3+x⁵/5-x⁷/7+…+[(-1)ⁿ⁺¹x^2n-1]/2n-1+…