Неоднородные ур-ия со спец. Правой частью.

1. f(x)=P_n(x)e^x 1)  - не явл-ся корнем хар. ур-ия

y^*=(A₀xⁿ+A₁x^n-1 ++...+A_n)=Q_n(x)e^x.

3.  - однократный корень y^*=xQ_n(x)e^x.

3)  - двукрат. корень y^*=x²Q_n(x)e^x.

2. f(x)=p(x)e^xCosx+q(x)e^xSinx

1) +i – не корень y^*=U(x)e^xCosx+V(x)e^xSinx.

2) +i – корень y^*=x[U(x)e^xCosx+V(x)e^xSinx].

3. f(x)=MCosx+NSinx

1)i – не корень, y^*=ACosx+BSinx.

2)i – корень, y^*=x(ACosx+BSinx).

РЯДЫ

Числовые ряды. Основные определения.

Пусть дана бесконечная послед-ть чисел U₁, U₂...U_n,... Выражение U₁+U₂+...+U_n+... наз-ся числовым рядом,

U₁, U₂...U_n – члены ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-ся

n-ой частичной суммой ряда: S_n= U₁+U₂+...+U_n.

Если сущ-ет конечный предел lim_nS_n=S, то этот предел наз суммой ряда.

Если предел lim_nS_n равен  или не сущ-ет, то говорят , что ряд расходится.

Если сущ-ет предел lim_nS_n, то ряд сходится.

Некоторые очевидные свойства числовых рядов:

1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Док-во: S_n – сумма n первых членов ряда, C_k – сумма k отброшенных членов, D_n-k – сумма членов ряда, входящих в сумму S_n и не входящих в C_k. Тогда имеем: S_n=C_k+D_n-k, где C_k – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения следует, что если сущ-ет limD_n-k, то сущ-ет и limS_n; если сущ-ет lim S_n, то сущ-ет limD_n-k, а это доказ-ет справедливость теоремы.

2)Теорема 2. Если ряд a₁+a₂+...(1) сходится, и его сумма равна S, то ряд ca₁+ca₂+...(2), где c=const, также сходится и его сумма равна сS.

Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через S_n, а ряда (2) – через D_n. Тогда D_n=ca₁+...+ca_n=c(a₁+...+a_n)=cS_n. Отсюда ясно, что передел n-ой частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к.

lim D_n=lim(cS_n)=climS_n=cS. ч.т.д.

3)Теорема 3. Если ряды a₁+a₂+...(5) и b₁+b₂+...(6) сходятся, и их суммы, соответственно, равны S₁и S₂, то ряды (a₁+b₁)+(a₂+b₂)+...(7) и (a₁–b₁)+(a₂–b₂)+...(8) также сходятся, и их суммы, соответственно, равны S₁+S₂ и

S₁–S₂.

Док-во: док-ем сходимость ряда (7). Обозначая его n-ую частичную сумму через D_n, а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через S_1n и S_2n, получим: D_n=(a₁+b₁)+...+(a_n+b_n)=(a₁+...+a_n)+(b₁+...+b_n)=S_1n+S_2n. Переходя к в этом равенстве к пределу при n, получим limD_n=lim(S_1n+S_2n)= limS_1n+limS_2n=S_1n+S_2n.

Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S_1n+S_2n.

4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limU_n=0 n.

Док-во: пусть ряд U₁+U₂+...+U_n+... сходится, т.е. limS_n=S n, тогда имеет место равенство limS_n-1=S.

limS_n–limS_n-1=0, lim(S_n–S_n-1)=0. Но S_n–S_n-1=U_n следов-но lim U_n=0 ч.т.д.

Достат. Призаки сходимости знакоположит. Рядов.

1)Признак сравнения. Пусть дан ряд U₁+U₂+...+U_n+...(1), S_1n; V₁+V₂+...+V_n+...(2) S_2n; Известно,что V_nU_n при nN₀.

1. если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится;

2. если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.

Док-во: Из сходимости ряда (2) следует, что  lim S_2n=S. S_1n=U₁+U₂+...+U_N0+U_N0+1+...+U_n=S_N0+V_N0+1+...+V_n. limS_1n=lim(S_N0+D_n-N0)=S_N0+D. S_1n – возраст. послед-ть, ограниченная числом S_N0+D =>  lim S_1n=S_n1.

2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limU_n/V_n=L, но L0, при n, то ряды ведут себя одинаково.

3) Признак Даламбера. Если  lim(U_n+1/U_n)=L(2) при n, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2) расходится, если L>1. Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотрим число q, удовл. соотнош L<q<1. Из определения предела и соотношения (2) следует, что для всех n, n N, будет иметь место нер-во (U_n+1/U_n)<q (2^’). Действительно, т.к. величина U_n+1/U_n стремится к пределу L, то разность м/у этой величиной и числом L м.б.сделана (начиная с некоторого номера N) по абсолютному значению меньше любого положит числа, в частности, меньше, чем q–L, т.е.

U_n+1/U_n – L<q–L. из последнего нер-ва и следует нер-во (2’). Записывая нер-во (2^’) для различных значений n, начиная с номера N, получим U_N+1<qU_N,

U_N+2<qU_N+1< q²U_N

Рассмотрим теперь два ряда:

U₁+U₂+...+U_N+U_n+1+... (1)

U_N+qU_N+q²U_N+... (1^’). Ряд (1^’) есть геом прогрессия с положит знаменат q<1. Следоват-но, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с U_N+1, меньше членов ряда (1^’), следоват-но, ряд (1) сходится. Ч.т.д. 2) Пусть L>1. тогда из равенства lim(U_n+1/U_n)=L следует, что, начиная с некот. N, т.е. для nN, будет иметь место нер-во (U_n+1/U_n)>1, или U_n+1>U_n для всех nN. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд расходится.

4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limⁿU_n=L, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1.

Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L<q<1. Начиная с некот n=N, будет иметь место соотношение

 ⁿU_n–L<q–L; осюда следует, что ⁿU_n<q или U_n<qⁿ для всех nN. Рассмотрим теперь два ряда: U₁+U₂+...+U_N+U_N+1+... (1) и q^N+q^N+1+q^N+2+... (1^’). Ряд (1^’) сходится, т.к. его члены обр-ют убыв. геом прогр. Члены ряда (1), начиная с U_N, меньше членов ряда (1^’). Значит, ряд (1) сходится. 2) Пусть L>1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь: ⁿU_n>1 или U_n>1. но если все члены рассматр ряда, начиная с U_N, больше 1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.

5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ^_n=1U_n, где члены ряда убывают U_n>U_n+1>0. Есть фун f(x)>0, х[1;] непрерывная и убывающая и такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=U_n.

Если не собственный интеграл ^₁f(x)dx – сходиться, то ряд сходится. Если не собственный интеграл ^₁f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.