Площадь

Площадь произвольного не самопересекающегося четырёхугольника с диагоналями  ,   и углом   между ними (или их продолжениями), равна:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

• , где  ,   — длины диагоналей, a, b, c, d — длины сторон.

•  :   где p — полупериметр, а   есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. (Какую именно пару противоположных углов взять роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна  , то полусумма двух других углов будет   и  ). Из этой формулы для вписанных 4-угольников следует формула Брахмагупты.

Особые случаи

Если 4-угольник и вписан, и описан, то   .Если он описан, то площадь равна половине его периметра умноженная на радиус вписанной окружности

История

В древности египтяне и некоторые другие народы использовали для определения площади четырёхугольника неверную формулу — произведение полусумм его противоположных сторон a, b, c, d:

.

Для непрямоугольных четырёхугольников эта формула даёт завышенное значение площади. Можно предположить, что она использовалась только для определения площади почти прямоугольных участков земли. При неточном измерении сторон прямоугольника эта формула позволяет повысить точность результата за счет усреднения исходных измерений.

Неравенство Птолемея: Для любых точек   плоскости выполнено неравенство

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда   (выпуклый) вписанный четырехугольник или точки ABCD лежат на одной прямой.

Формула Брахмагупты выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон.

Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон   и полупериметр  , то его площадь   выражается формулой:

Параллелограмм и трапеция.

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства:

- В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

- Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC,   и   — длины диагоналей; тогда

- Если в параллелограмм можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Признаки:

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны и параллельны. 

2. Противоположные углы попарно равны.

3. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам.

4. Сумма соседних углов равна 180 градусов.

5. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.

6. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

 , где   — сторона,   — высота, проведенная к этой стороне.

, где   и   — стороны, а   — угол между сторонами a и b.

, где   и   - диагонали,   - острый угол при их пересечении.

Трапеция

Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Трапеция называется равнобедренной. Если ее боковые стороны равны. Трапеция. Один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Общие свойства

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

• Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.

• Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

• В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

• Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен   

где   и   — основания трапеции.

• Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

• Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

• Треугольники, лежащие на основаниях при пересечении диагоналей, подобные.

• Треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие.

• Если отношение оснований равно K, то отношение площадей треугольников, лежащих на основаниях, равно K².

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

• Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.

• Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований

• Углы при любом основании равны.

• Длины диагоналей равны.

• Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Площадь трапеции равна произведения полусуммы её оснований на высоту.

В случае, если   и   — основания и   — высота, формула площади:

В случае, если   — средняя линия и   — высота, формула площади:

* Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

Формула, где  ,   — основания,   и   — боковые стороны трапеции:

Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным  , и углом при основании  :

Площадь равнобедренной трапеции:

где   - боковая сторона,   - большее основание,   - меньшее основание,   - угол между большим основанием и боковой стороной .

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Вписанная и описанная окружность

• Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).

• В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

• Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

• Если в трапецию вписана окружность с радиусом   и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка —   и  , — то  .

Прямоугольник, ромб, квадрат.

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм. У которого все углы прямые.

Свойства:

- В прямоугольнике противоположные стороны равны.

-В прямоугольнике все углы равны 90 градусам.

- В прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам.

- Диагонали прямоугольника равны.

- Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

- Стороны прямоугольника являются его высотами.

- Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (по теореме Пифагора).

- Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности (радиус равен полудиагонали).

Площадь и стороны

• Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон, а шириной — длину более короткой пары сторон.

• Величина площади прямоугольника равна произведению ширины прямоугольника на его длину.

• Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его ширины и длины.

Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется любое из условий:

• Если диагонали параллелограмма равны.

• Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон.

• Если углы параллелограмма равны.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства:

- В ромбе противоположные стороны и углы равны.

- Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

- Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Признаки:

Параллелограмм   является ромбом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий^[2]:

1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны,  ).

2. Его диагонали пересекаются под прямым углом (AC⊥BD).

3. Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам.

Предположим, что заранее не известно, что четырёхугольник является параллелограммом, но дано, что все его стороны равны. Тогда этот четырёхугольник есть ромб.

Площадь ромба

• Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

• Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

• Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:

,

где   — угол между двумя смежными сторонами ромба.

• Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности и угол  :

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства:

- Все углы квадрата прямые.

- Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

- Равенство длин сторон.

Признаки:

- Пусть   — сторона квадрата,   — радиус описанной окружности,   — радиус вписанной окружности. Тогда центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей, и

радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:

,

- Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:

,

- Периметр квадрата равен:

,

- Площадь   равна

.

- Квадрат обладает наибольшей симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет одну ось симметрии четвёртого порядка (ось, перпендикулярная плоскости квадрата и проходящая через его центр);четыре оси симметрии второго порядка (что для плоской фигуры эквивалентно отражениям), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.

- Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Задачи